【題目】如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG∥CD交AF于點G,連接DG.
(1)求證:四邊形EFDG是菱形;
(2)求證:EG2=GFAF;
(3)若AB=4,BC=5,求GF的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)由翻折的性質(zhì)可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,得出∠DGF=∠DFG.證出GD=DF.因此DG=GE=DF=EF,即可得出結(jié)論;
(2)連接DE,交AF于點O.由菱形的性質(zhì)得出GF⊥DE,OG=OF=GF.證明△DOF∽△ADF,得出,即DF2=FOAF,即可得出結(jié)論;
(3)作GH⊥CD于H,則CH=EG,由(1)得:AE=AD,在Rt△ABE中,由勾股定理得出BE==3,得出EC=2.設(shè)GF=x,菱形邊長為y,則由(2)得:y2=x×AF①,在Rt△ADF中,AF2 =25+y2②,在Rt△ECF中,y2=4+(4y)2③,解得:y=,代入②得:AF=,再代入①得:x=即可.
解:(1)∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的性質(zhì)可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF,
∴四邊形EFDG為菱形.
(2)如圖1所示:連接DE,交AF于點O.
∵由(1)四邊形EFDG為菱形.
∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴,即DF2=FOAF.
∵FO=GF,DF=EG,
∴EG2=GFAF.
(3)作GH⊥CD于H,如圖2所示:
則CH=EG,由(1)得:AE=AD,
在Rt△ABE中,AB=4,AE=AD=5,
∴BE==3,
∴EC=2.
設(shè)GF=x,菱形邊長為y,則
由(2)得:y2=x×AF①,
在Rt△ADF中,AF2 =25+y2 ②
在Rt△ECF中,y2 =4+(4﹣y)2③
解得:y=,
代入②得:AF=,再代入①得:.
即GF=.
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【題目】黃石市在創(chuàng)建國家級文明衛(wèi)生城市中,綠化檔次不斷提升.某校計劃購進A,B兩種樹木共100棵進行校園綠化升級,經(jīng)市場調(diào)查:購買A種樹木2棵,B種樹木5棵,共需600元;購買A種樹木3棵,B種樹木1棵,共需380元.
(1)求A種,B種樹木每棵各多少元?
(2)因布局需要,購買A種樹木的數(shù)量不少于B種樹木數(shù)量的3倍.學校與中標公司簽訂的合同中規(guī)定:在市場價格不變的情況下(不考慮其他因素),實際付款總金額按市場價九折優(yōu)惠,請設(shè)計一種購買樹木的方案,使實際所花費用最省,并求出最省的費用.
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【題目】如圖,已知,以為直徑作半圓,半徑繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,點的對應(yīng)點為,當點與點重合時停止.連接并延長到點,使得,過點作于點,連接,.
(1)______;
(2)如圖,當點與點重合時,判斷的形狀,并說明理由;
(3)如圖,當時,求的長;
(4)如圖,若點是線段上一點,連接,當與半圓相切時,直接寫出直線與的位置關(guān)系.
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【題目】如圖,AB,DE為⊙O的直徑,過點D作弦DC⊥AB于點H,連接AE并延長交DC的延長線于點F.
(1)求證:
(2)若sinD=,求tanF.
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【題目】如圖,在某一路段,規(guī)定汽車限速行駛,交通警察在此限速路段的道路上設(shè)置了監(jiān)測區(qū),其中點C、D為監(jiān)測點,已知點C、D、B在同一直線上,且AC⊥BC,CD=400米,tan∠ADC=2,∠ABC=35°
(1)求道路AB段的長(結(jié)果精確到1米)
(2)如果道路AB的限速為60千米/時,一輛汽車通過AB段的時間為90秒,請你判斷該車是否是超速,并說明理由;參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002
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【題目】發(fā)現(xiàn) 對于2,4,6三個連續(xù)的偶數(shù)來說,可以得到;即前兩個偶數(shù)的和等于第三個偶數(shù);對于8,10,12,14,16五個連續(xù)的偶數(shù)來說,可以得到,即前三個偶數(shù)的和等于后兩個偶數(shù)的和.…
驗證 對于九個連續(xù)偶數(shù)來說,若前五個偶數(shù)的和等于后四個偶數(shù)的和,則中間的偶數(shù)是_______;
延伸 是否存在連續(xù)的五個奇數(shù),使得前三個奇數(shù)的和等于后兩個奇數(shù)的和.若有,寫出這五個奇數(shù);若沒有,請說明理由.
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【題目】為了扎實推進精準扶貧工作,某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施,每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施,現(xiàn)把享受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、C、D類貧困戶.為檢査幫扶措施是否落實,隨機抽取了若干貧困戶進行調(diào)查,現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
請根據(jù)圖中信息回答下面的問題:
(1)本次抽樣調(diào)查了多少戶貧困戶?
(2)抽查了多少戶C類貧困戶?并補全統(tǒng)計圖;
(3)若該地共有13000戶貧困戶,請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶?
(4)為更好地做好精準扶貧工作,現(xiàn)準備從D類貧困戶中的甲、乙、丙、丁四戶中隨機選取兩戶進行重點幫扶,請用樹狀圖或列表法求出恰好選中甲和丁的概率.
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【題目】如圖,直線相交于,在直線上分別取點,使,分別過點A,B作直線的垂線,垂足分別為,直線與交于,設(shè).
(1)求證:;
(2)小明說,不論是銳角還是鈍角,點都在的平分線上,你認為他說的有道理嗎?并說明理由.
(3)連接,當與三角板的形狀相同時,直接寫出的值.
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【題目】對于直角坐標系 xOy 中的點P和⊙C,給出如下定義:若⊙C上存在兩個點A,B,使得點P在射線BC上,且∠APB=∠ACB(0°<∠ACB<180°),則稱P為⊙C的依附點.
(1)當⊙O的半徑為1時
①已知點D(﹣1,0),E(0,﹣2),F(2.5,0),在點D,E,F中,⊙O的依附點是___;
②點T在直線y=x上,若T為⊙O的依附點,求點T的橫坐標t的取值范圍;
(2)⊙C的圓心在x軸上,半徑為1,直線 y=﹣2x+2與x軸、y 軸分別交于點M、N,若線段MN上的所有點都是⊙C 的依附點,請求出圓心C的橫坐標n的取值范圍.
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