Question

10．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于D，點(diǎn)E是線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，連接AE，CH⊥AE交AD于F，交AE于G，交AB于H，連接GD．
（1）求證：BE=AF；
（2）求∠DGE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠CAF，然后依據(jù)同角的余角相等證明∠BAE=∠ACF，接下來(lái)依據(jù)ASA證明△ABE≌△ADC，從而得到BE=AF；
（2）連接EF，先證明△EDF為等腰直角三角形，然后由∠EGF+∠EDF=180°證明點(diǎn)D、E、F、G共圓，從而得到∠EGD=∠EFD．

解答 解：（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠EAC=90°．
∵CH⊥AE，
∴∠EAC+∠ACG=90°．
∴∠BAE=∠ACF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°．
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠CAF=45°．
∴∠B=∠CAF．
∵在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC．
∴BE=AF．
（2）如圖所示：連接EF．

∵∠B=45°，∠BDA=90°，
∴∠B=∠BAD=45°．
∴BD=AF．
∵BE=AF，
∴DE=DF．
又∵∠EDF=90°，
∴∠EFD=45°．
∵∠EGF+∠EDF=180°，
∴點(diǎn)D、E、F、G共圓．
∴∠EGD=∠EFD=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，四點(diǎn)共圓、圓周角定理的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D、E、F、G共圓是解題的關(guān)鍵．