Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∠EDF＝120°，把

∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F．

（1）當DF⊥AC時，求證：BE＝CF；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，連接EF，設(shè)BE＝x，△DEF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)解析式，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE+CF＝2，是為定值；（3）S＝（x﹣1）2，當x＝1時，S最小值為.

【解析】

（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求∠DEA＝90°，根據(jù)“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可證BE＝CF；

（2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，易證△MBD≌△NCD，則有BM＝CN，DM＝DN，進而可證到△EMD≌△FND，則有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2；

（3）過點F作FG⊥AB，由題意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，則可求S與x之間的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，可求S的最小值．

（1）∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，

∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，

∵DF⊥AC，

∴∠DFA＝90°，

∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，

∴∠AED＝90°，

∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

（2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

則有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．

∵∠A＝60°，

∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．

∵∠EDF＝120°，

∴∠MDE＝∠NDF．

在△MBD和△NCD中，

∴△MBD≌△NCD（AAS）

BM＝CN，DM＝DN．

在△EMD和△FND中，，

∴△EMD≌△FND（ASA）

∴EM＝FN，

∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN

＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2

（3）過點F作FG⊥AB，垂足為G，

∵BE＝x

∴AE＝4﹣x，CF＝2﹣x，

∴AF＝2+x，

∵S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，

∴S＝BC×AB×sin60°﹣AE×AF×sin60°﹣BE×BD×sin60°﹣CF×CD×sin60°

＝4﹣×（4﹣x）×（2+x）×﹣×x×2×﹣×（2﹣x）×2×

∴S＝（x﹣1）2+（

∴當x＝1時，S最小值為