Question

10．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G恰好在BC邊上時(shí)，四邊形ABGE的形狀是正方形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，延長BG交DC邊于點(diǎn)F．
①求證：BF=AB+DF；
②若AD=$\sqrt{2}$AB，試探索線段DF與FC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G恰好在BC邊上時(shí)，四邊形ABGE的形狀是正方形，理由為：由折疊得到兩對邊相等，三個(gè)角為直角，確定出四邊形ABEG為矩形，再由矩形對邊相等，等量代換得到四條邊相等，即鄰邊相等，即可得證；
（2）①如圖2，連接EF，由ABCD為矩形，得到兩組對邊相等，四個(gè)角為直角，再由E為AD中點(diǎn)，得到AE=DE，由折疊的性質(zhì)得到BG=AB，EG=AE=ED，且∠EGB=∠A=90°，利用HL得到直角三角形EFG與直角三角形EDF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DF=FG，由BF=BG+GF，等量代換即可得證；
②CF=DF，理由為：不妨假設(shè)AB=DC=a，DF=b，表示出AD=BC，由①得：BF=AB+DF，進(jìn)而表示出BF，CF，在直角三角形BCF中，利用勾股定理列出關(guān)系式，整理得到a=2b，由CD-DF=FC，代換即可得證．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G恰好在BC邊上時(shí)，四邊形ABGE的形狀是正方形，
理由為：由折疊得：AB=BG，AE=EG，∠EGB=∠A=∠ABC=90°，
∴四邊形ABEG為矩形，
∴EG=AB，
∴AB=BG=AE=EG，
則四邊形ABEG為正方形；
故答案為：正方形；
（2）①如圖2，連結(jié)EF，

在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴DF=FG，
∴BF=BG+GF=AB+DF；
②不妨假設(shè)AB=DC=a，DF=b，
∴AD=BC=$\sqrt{2}$a，
由①得：BF=AB+DF，
∴BF=a+b，CF=a-b，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF²=BC²+CF²，即（a+b）²=（$\sqrt{2}$a）²+（a-b）²，
整理得：4ab=2a²，
∵a≠0，
∴a=2b，即CD=2DF，
∵CF=CD-DF，
∴CF=DF．

點(diǎn)評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：折疊的性質(zhì)，正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．