Question

5．如圖，四邊形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，點P、Q分別是邊AD、BC上的動點，AQ和BP交于點E，且∠BEQ=90°-$\frac{1}{2}$∠BAD，設(shè)A、P兩點的距離為x．
（1）求∠BEQ的正切值；
（2）設(shè)$\frac{AE}{PE}$=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
（3）當△AEP是等腰三角形時，求B、Q兩點的距離．

Answer 1

分析 （1）求∠BEQ的正切值，要把∠BEQ放在直角三角形中進行解決，根據(jù)AB=AD=5，CB=CD=8可知，連接四邊形ABCD的對角線可得到AC⊥BD，可通過∠BEQ=90°-$\frac{1}{2}$∠BAD和∠ABD=90°-$\frac{1}{2}$∠BAD，可知∠BEQ=∠ABD，通過求∠ABD的正切值來求得∠BEQ的正切值．
（2）設(shè)AQ與BD交于點F，由（1）中的∠BEQ=∠ABD，AB=AD，CB=CD，得到∠AEP=∠ADF，從而可得△FAB∽△PBD，△APE∽△AFD．先由△FAB∽△PBD中的比例式$\frac{BF}{PD}$=$\frac{AB}{BD}$用含x的式子表示BF=$\frac{5}{8}$（5-x），DF=BD-BF=$\frac{39+5x}{8}$，再用△APE∽△AFD中的比例式$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AD}{DF}$用含x的式子表示y=$\frac{40}{39+5x}$（因為點P是在線段AD上移動，所以x的取值范圍是0＜x＜5）．
（3）由于題中沒有說明△AEP中那兩條邊相等，所以要分情況討論：①當AE=PE時，y=$\frac{40}{39+5x}$=1 可得 x=$\frac{1}{5}$，可求出OF=1，作QH⊥BD，構(gòu)造相似三角形，Rt△QHF∽Rt△AOF設(shè)BQ=a，用含有a的式子表示BH=$\frac{1}{2}$a，QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根據(jù)$\frac{FH}{HQ}$=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{3}$，可解得BQ=a=9-3$\sqrt{3}$；②當AP=PE時，易證△PAE∽△ABD，根據(jù)$\frac{AE}{PE}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{8}{5}$，可得x=-$\frac{14}{5}$，因為不合題意，故此種情況舍去；③當AP=AE時，易證△AEP∽△ABD，利用$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{5}{8}$，可得AP=5，此時B、Q重合，即BQ=0（舍去）．綜合這三種情況可以求得B、Q兩點間距離為9-3$\sqrt{3}$．

解答 解：
（1）
連接BD、AC，交點于點O，（圖1）
∵AB=AD=5，CB=CD=8
∴AC⊥BD，且OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4
∴∠ABD=90°-∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAD
∴∠BEQ=∠ABD
在Rt△ABO中，AB=5，OB=4
∴tan∠BEQ=tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{3}{4}$
（2）
設(shè)AQ與BD交于點F（圖2）
∵∠BEQ=∠ABD=∠AEP∠AFB=∠BFE  
∴△FBE∽△FAB，△FBE∽△PBD
∴△FAB∽△PBD
$\frac{BF}{PD}$=$\frac{AB}{BD}$，即$\frac{BF}{5-x}$=$\frac{5}{8}$
∴BF=$\frac{5}{8}$（5-x），DF=BD-BF=$\frac{39+5x}{8}$  
又∵∠BEQ=∠ABD=∠AEP=∠ADB∠EAP=∠DAF
∴△APE∽△AFD
∴y=$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AD}{DF}$=$\frac{5}{\frac{39+5x}{8}}$
整理得：y=$\frac{40}{39+5x}$（0＜x＜5）
（3）如圖3

①當AE=PE時，y=$\frac{40}{39+5x}$=1    
解得   x=$\frac{1}{5}$
∵y=$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AD}{DF}$=$\frac{40}{39+5x}$
∴DF=$\frac{39+5x}{8}$=5
∴OF=DF-OD=5-4=1
作QH⊥BD，
∵AO⊥BD，∠ACB=30°
∴∠BQH=30°，Rt△QHF∽Rt△AOF
設(shè)BQ=a，則BH=$\frac{1}{2}$a，QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，則
$\frac{FH}{HQ}$=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{3-\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$，解得BQ=a=9-3$\sqrt{3}$；
②當AP=PE時，∠PAE=∠PEA
∵∠AEP=∠BEQ=∠ABD=∠ADB
∴△PAE∽△ABD
又∵BD=BC=CD=8
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{8}{5}$，即$\frac{40}{39+5x}$=$\frac{8}{5}$，
解得x=-$\frac{14}{5}$（不合題意，舍去）
③當AP=AE時，∠AEP=∠APE=∠ABD=∠ADB
∴△AEP∽△ABD
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{5}{8}$，即$\frac{40}{39+5x}$=$\frac{5}{8}$，解得x=5，即AP=5
此時B、Q重合，即BQ=0（舍去）．
綜上可知，B、Q兩點間距離為9-3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的知識點有：①通過等量代換的方法把一個角放到直角三角形中求三角函數(shù)值的方法；②利用相似三角形的相似比作為等量關(guān)系，用含x的式子表示某條線段或線段比；③利用△AEP是等腰三角形，求B、Q兩點的距離時，沒有說清那兩條邊相等的情況下要分三種情況考慮問題，然后再根據(jù)相等的角或邊找到對應(yīng)的等量關(guān)系求x的值．