Question

16．如圖已知直線$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$與x軸和y軸分別交于點A和點B，以AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC．
（1）求△ABC三個頂點的坐標．
（2）是否在第一象限內(nèi)存在有一點P（m，$\frac{1}{2}$），使△PAB的面積等于△ABC的面積？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先令x=0，y=0求出A、B的坐標．然后解直角三角形求得∠OAB=30°，根據(jù)勾股定理求出AB的長，繼而可求出∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°，即可求得C的坐標．
（2）由△ABP和△ABC的面積相等，得到點C與點P到直線AB的距離相等，得到PC∥AB，根據(jù)直線AB設(shè)出直線PC的解析式，代入C的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線PC的解析式，然后把y=$\frac{1}{2}$代入即可求得．

解答 解：（1）$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）．
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∵△AOB為直角三角形，
∴AB=2．tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°，
∴C（$\sqrt{3}$，2）；
（2）∵△PAB的面積等于△ABC的面積，
∴點C與點P到直線AB的距離相等，
∴PC∥AB，
設(shè)直線PC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把C（$\sqrt{3}$，2）代入得，2=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+b，
解得b=3，
∴直線PC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
把（m，$\frac{1}{2}$）代入得，$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+3，
解得m=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴在第一象限內(nèi)存在有一點P（m，$\frac{1}{2}$），使△PAB的面積等于△ABC的面積．此時m的值為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形函數(shù)，平行線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)題意求得∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°是解題的關(guān)鍵．