Question

如圖，直線AB：y=-

1

2

x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線CD：y=2x+4與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，與直線AB交于點(diǎn)P．
（1）求四邊形PCOB的面積；
（2）直線CD上是否存在點(diǎn)M，使得△PAM的面積等于四邊形PCOB的面積？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1，由條件易求出點(diǎn)A、B、C、D、P的坐標(biāo)，從而可求出OA、OB、OC、OD、OH、PH、CH的值，然后運(yùn)用割補(bǔ)法就可求出四邊形PCOB的面積．
（2）①若點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，如圖2，可先求出△PCA的面積，從而得到△MCA的面積，進(jìn)而得到ME的長(zhǎng)（即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)），由點(diǎn)M在直線CD上可求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，就可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M在點(diǎn)P的下方，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，如圖3，仿照①中的解題過(guò)程，就可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1．
∵直線y=-

1

2

x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA=4，OB=2．
∵直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），
∴OC=2，OD=4．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+2 y=2x+4

，
解得：

x=- 4 5 y= 12 5

．
∵點(diǎn)P是直線y=-

1

2

x+2與直線y=2x+4的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

4

5

，

12

5

），
∴OH=

4

5

，PH=

12

5

，
∴CH=CO-OH=2-

4

5

=

6

5

，
∴S_{四邊形PCOB}=S_△CHP+S_梯形PHOB
=

1

2

×

6

5

×

12

5

+

1

2

×（

12

5

+2）×

4

5

=

16

5

，
∴四邊形PCOB的面積為

16

5

．

（2）直線CD上存在點(diǎn)M，使得△PAM的面積等于四邊形PCOB的面積．
①若點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，如圖2．
由題可得：S_△MPA=S_{四邊形PCOB}=

16

5

．
∵S_△PCA=

1

2

AC•PH=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

，
∴S_△MCA=S_△PCA+S_△MPA=

36

5

+

16

5

=

52

5

，
∴

1

2

×6×ME=

52

5

，
∴ME=

52

15

，即y_M=

52

15

．
∵點(diǎn)M在直線y=2x+4上，
∴2x_M+4=

52

15

，
∴x_M=-

4

15

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

4

15

，

52

15

）．
②若點(diǎn)M在點(diǎn)P的下方，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，如圖3．
∵S_△MPA=S_{四邊形PCOB}=

16

5

，S_△PCA=

1

2

AC•PH=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

，
∴S_△MCA=S_△PCA-S_△MPA=

36

5

-

16

5

=4，
∴

1

2

×6×ME=4，
∴ME=

4

3

，即y_M=

4

3

．
∵點(diǎn)M在直線y=2x+4上，
∴2x_M+4=

4

3

，
∴x_M=-

4

3

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

4

3

，

4

3

）．
綜上所述：符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

4

15

，

52

15

）或（-

4

3

，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、直線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．