Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=

3

5

(x2+bx+c)過點A（1，0），B(0，

3

)，這條拋物線的對稱軸與x軸交于點C，點P為射線CB上一個動點（不與點C重合），點D為此拋物線對稱軸上一點，且∠CPD=60°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P的橫坐標(biāo)為m，△PCD的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過點P作PE⊥DP，連接DE，F(xiàn)為DE的中點，試求線段BF的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點A（1，0），B(0，

3

)代入y=

3

5

(x2+bx+c)，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先由拋物線的解析式求出對稱軸為x=3，得到C點坐標(biāo)（3，0），在Rt△OBC中，利用正切函數(shù)的定義得出tan∠OCB=

OB

OC

=

3

3

，于是∠OCB=30°，則∠PCD=60°，再證明△PCD是等邊三角形，過點P作PQ⊥x軸于點Q，PG∥x軸，交CD于點G，求出CP=

2 3 (3-m)

3

=CD，PG=CQ=3-m，然后根據(jù)S_△PCD=

1

2

CD•PG即可求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連結(jié)PF、CF，先利用SSS證明△CPF≌△CDF，得出∠PCF=∠DCF，由角平分線的定義可知點F在∠PCD的角平分線上，根據(jù)垂線段最短得出BF的最小值為點B到直線CF的距離，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點B到直線CF的距離等于OB，進而求出線段BF的最小值．

解答：解：（1）∵拋物線y=

3

5

(x2+bx+c)過點A（1，0），B(0，

3

)，
∴

3 5 (1+b+c)=0 3 5 c= 3

，
解得

b=-6 c=5

，
∴拋物線的解析式為y=

3

5

（x²-6x+5），
即y=

3

5

x²-

6 3

5

x+

3

；

（2）∵y=

3

5

x²-

6 3

5

x+

3

=

3

5

（x-3）²-

4 3

5

，
∴拋物線的對稱軸為x=3，
∴C（3，0），
∵B（0，

3

），
∴OC=3，OB=

3

，
∴tan∠OCB=

OB

OC

=

3

3

，
∴∠OCB=30°，
∴∠PCD=60°．
∵∠CPD=60°，
∴∠CDP=60°，
∴△PCD是等邊三角形．
如圖1，過點P作PQ⊥x軸于點Q，PG∥x軸，交CD于點G，
∵點P的橫坐標(biāo)為m，
∴OQ=m，CQ=3-m．
∴CP=

2 3 (3-m)

3

=CD，PG=CQ=3-m．
∴S_△PCD=

1

2

CD•PG=

1

2

×

2 3 (3-m)

3

×（3-m）=

3

3

（3-m）²，
即S=

3

3

m²-2

3

m+3

3

（m＜3）；

（3）如圖2，連結(jié)PF、CF．
∵PE⊥DP，F(xiàn)為DE的中點，
∴PF=

1

2

DE=DF．
在△CPF與△CDF中，

PF=DF CP=CD CF=CF

，
∴△CPF≌△CDF（SSS），
∴∠PCF=∠DCF，
∴點F在∠PCD的角平分線上，
∴BF的最小值為點B到直線CF的距離．
∵∠OCB=∠BCF=30°，
∴點B到直線CF的距離等于OB，
∴BF的最小值為

3

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與性質(zhì)等知識，綜合性較強，有一定難度．根據(jù)垂線段最短得出BF的最小值為點B到直線CF的距離是解決第（3）小題的關(guān)鍵．