Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠AED=∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，M為DB的中點(diǎn)，連接EC，N是EC的中點(diǎn)，連接DN并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F．求證：
（1）△EDN≌△CFN；
（2）MN=

1

2

CE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠EAD=∠EDA=∠BAC=∠ABC=45°，∠EAC=90°，然后求出ED∥FC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EDN=∠CFN，再利用“角角邊”證明△EDN和△CFN全等即可；
（2）連接EM并延長(zhǎng)到H，使EM=MH，連接CH、CH、BH，利用“邊角邊”證明△EDM和△FBM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=DE=AE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠HBM=∠EDM=135°，再利用“邊角邊”證明△EAC和△HBC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得HC=CE，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明即可．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰Rt△ABC和△AED是等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠EAC=90°，
∴ED∥FC，
∴∠EDN=∠CFN，
∵N是EC的中點(diǎn)，
∴EN=CN，
在△EDN和△CFN中

∠EDN=∠CFN ∠END=∠CNF EN=CN

，
∴△EDN≌△CFN（AAS）；

（2）連接EM并延長(zhǎng)到H，使EM=MH，連接CH、CH、BH，
在△EDM和△FBM中，

BM=MD ∠EMD=∠HMB EM=MH

，
∴△EDM≌△HBM（SAS），
∴BH=DE=AE，∠HBM=∠EDM=135°，
∴∠HBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△HBC中，

AE=HB ∠HBC=∠EAC=90° AC=BC

，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴HC=CE，
又∵點(diǎn)M、N分別是EH、EC的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

HC，
∴MN=

1

2

CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形和以MN為中位線的三角形．