Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0
（1）當(dāng)m取什么值時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根？
（2）對(duì)m選取一個(gè)合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并求這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差的平方．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）要使原方程沒有實(shí)數(shù)根，只需△＜0即可，然后可以得到關(guān)于m的不等式，由此即可求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中求得的范圍，在范圍之外確定一個(gè)m的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得兩根的平方和．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0沒有實(shí)數(shù)根
∴b²-4ac=[-2（m+1）]²-4m²=8m+4＜0，
∴m＜-

1

2

，
∴當(dāng)m＜-

1

2

時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根；

（2）由（1）可知，m≥

1

2

時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)m=1時(shí)，原方程變?yōu)閤²-4x+1=0，
設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16-2=14，
∴當(dāng)m=1時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是14．

點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生能夠用根的判別式求解字母的取值范圍，熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于兩個(gè)根的一些代數(shù)式的值．