Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分別是BC、CD邊的中點(diǎn)，連接BF、DE交于點(diǎn)P，連接CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，連接AF．
（1）求證：四邊形ABED為平行四邊形；
（2）試判斷△ABF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）∠QCD=45°．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,直角梯形

專題：

分析：（1）根據(jù)梯形的性質(zhì)，可得AD與BC的關(guān)系，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，可得BE與BC的關(guān)系，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BF與DE的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與DE的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠FBC=∠EDC，再根據(jù)AAS，可得BPE≌△DPF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BP與DP的關(guān)系，根據(jù)SSS，可得△BPC與△DPC的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得∠BCP與∠DCP的關(guān)系，根據(jù)角的和差，可得答案．

解答：（1）證明：∵E是BC邊的中點(diǎn)，
∴BC=2BE
∵BC=2AD，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED為平行四邊形；
（2）△ABF為等腰三角形，理由是：
解：∵E、F分別是BC、CD邊的中點(diǎn)，
∴EC=FC，
在△BCF和△DCE中，

CF=CE ∠BCF=∠ECD BC=CD

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF=ED，
∵四邊形ABED為平行四邊形，
∴AB=ED，
∴AB=BF，
∴△ABF為等腰三角形．
（3）解：∵△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，
在△BPE和△DPF中，

∠FBC=∠EDC ∠BPE=∠DPF BE=DF

，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，
在△BPC和△DPC中，

BP=DP PC=PC BC=CD

，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠QCD=∠BCP=

1

2

∠BCD=

1

2

×90°=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．