Question

1．如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，∠B=60°，CE⊥AB于E，動點P從出發(fā)點以1cm/s的速度沿BC邊向終點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)以4cm/s的速度沿CD邊向點D運動，當點Q到達D時立即以原來的速度沿射線DA運動，連接PQ，當點P到達C點時，點P、點Q同時停止運動，設(shè)點P，Q運動時間為t秒．
（1）當t=1s時，點Q到達點D；
（2）如圖1，當點Q在CD上運動時，若△PCQ的面積等于△BEC的面積，求t的值；
（3）如圖2，當點Q在DA的延長線上運動時，PQ與AB相交于點F，若AF：BF=3：2，求t的值，并判斷此時PQ與CE的位置關(guān)系；
（4）在整個運動過程中，是否存在將菱形ABCD的周長和面積同時平分的情形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)時間=$\frac{路程}{速度}$即可求解；
（2）首先求得△BCE的面積，然后利用t表示出PC和CQ的長，則△PCQ的面積即可用t表示，則列方程即可求解；
（3）易證△AQF∽△BPF，根絕相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可列方程求解；
（4）PQ同時把菱形ABCD的周長和面積同時平分，則PQ一定經(jīng)過菱形的中心，則一定有DQ=BP，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）t=$\frac{4}{4}$=1（s），故答案是：1s；
（2）在直角△BCE中，EC=BC•sin∠B=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（cm），BE=$\frac{1}{2}$BC=2（cm），
則S_△BEC=$\frac{1}{2}$BE•EC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$（cm2），
運動的時間是ts，則BP=t，PC=4-t，CQ=4t，
則S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ•sin60°=$\frac{1}{2}$（4-t）•4t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-t²+4t，
則-t2+4t=2$\sqrt{3}$，
解得：t=1或$\frac{3}{2}$（舍去）．
故t=1．
（3）∵AD∥BC，
∴△AQF∽△BPF，
∴$\frac{AQ}{BP}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{4t-8}{t}$=$\frac{3}{2}$，
解得：t=$\frac{16}{5}$．
則BP=$\frac{16}{5}$，
又∵BF=$\frac{2}{5}$AB=$\frac{8}{5}$，BE=2，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BF}{BE}$，
∴PQ∥CE；
（4）PQ同時把菱形ABCD的周長和面積同時平分，則PQ一定經(jīng)過菱形的中心，
則Q在AD上，且DQ=BP，則t-4=t，
此時無解，則t不存在．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用，正確利用相似三角形的性質(zhì)求得BP的長是關(guān)鍵．