【題目】已知四邊形ABCD是正方形,△DEF是等腰直角三角形,DE=DF,M是EF的中點.
(1)如圖1,當點E在AB上時,求證:點F在直線BC上.
(2)如圖2,在(1)的條件下,當CM=CF時,求證:∠CFM=22.5°
(3)如圖3,當點E在BC上時,若CM=2,則BE的長為 (直接寫出結(jié)果)(注:等腰直角三角形三邊之比為1:1:)
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)2
【解析】
(1)根據(jù)四邊形ABCD是正方形,△DEF是等腰直角三角形,利用SAS證明△ADE≌△CDF即可;
(2)作EN∥CM交BC于N,根據(jù)M是EF的中點得CM是△EFN的中位線,可證得△BEN是等腰直角三角形,利用外角的性質(zhì)即可求證;
(3)過點F作FG⊥BC于G,FQ⊥AD于Q,過點E作EH⊥AD于H,則四邊形CGQD為矩形,EH=AB=CD,作FN∥CM交CG于N,可根據(jù)AAS證明△QDF≌△HED,可得矩形CGQD是正方形,連接DM、GM,則DM是Rt△EDF的中線、GM是Rt△EGF的中線,可根據(jù)SSS證明△CMD≌△CMG,得到△NGF是等腰直角三角形,即可求出結(jié)果.
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD=AB=BC,∠A=∠BCD=∠ADC=90°,
∵△DEF是等腰直角三角形,
∴∠EDF=90°,
∴∠ADC=∠EDF,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴∠A=∠DCF=90°,
∴點F在直線BC上;
(2)證明:作EN∥CM交BC于N,如圖2所示:
∵M是EF的中點,EN∥CM,
∴CM是△EFN的中位線,∠BCM=∠BNE,
∴CN=CF,由(1)得:△ADE≌△CDF,
∴AE=CF,
∴AE=CN,
∴BE=BN,
∴△BEN是等腰直角三角形,
∴∠BNE=45°,
∴∠BCM=45°,
∵CM=CF,
∴∠CMF=∠CFM=∠BCM=22.5°;
(3)解:過點F作FG⊥BC于G,FQ⊥AD于Q,則四邊形CGQD為矩形,
過點E作EH⊥AD于H,則EH=AB=CD,
作FN∥CM交CG于N,如圖3所示:
∵∠EDF=90°,
∴∠HDE+∠QDF=90°,
∵∠HDE+∠HED=90°,
∴∠QDF=∠HED,
在△QDF和△HED中,,
∴△QDF≌△HED(AAS),
∴EH=DQ,
∴DQ=CD,
∴矩形CGQD是正方形,
∴CG=BC,
∵M是EF的中點,FN∥CM,
∴CM是△ENF的中位線,
∴∠GCM=∠GNF,NF=2CM=4,CE=CN,
∴BE=NG,
連接DM、GM,則DM是Rt△EDF的中線、GM是Rt△EGF的中線,
∴DM=EF,GM=EF,
∴DM=GM,
在△CMD和△CMG中, ,
∴△CMD≌△CMG(SSS),
∴∠DCM=∠GCM=∠DCG=45°,
∴∠GNF=45°,
∴△NGF是等腰直角三角形,
∴NG=NF=,
故答案為:.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某超市預測某飲料有發(fā)展前途,用1600元購進一批飲料,面市后果然供不應求,又用6000元購進這批飲料,第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍,但單價比第一批貴2元.
(1)第一批飲料進貨單價多少元?
(2)若二次購進飲料按同一價格銷售,兩批全部售完后,獲利不少于1200元,那么銷售單價至少為多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明從家騎自行車出發(fā),沿一條直路到相距2400m的郵局辦事,小明出發(fā)的同時,他的爸爸以96m/min速度從郵局同一條道路步行回家,小明在郵局停留2min后沿原路以原速返回,設他們出發(fā)后經(jīng)過t min時,小明與家之間的距離為s1m,小明爸爸與家之間的距離為s2 m,圖中折線OABD、線段EF分別表示s1、s2與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象。
(1)求s2與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小明從家出發(fā),經(jīng)過多長時間在返回途中追上爸爸?這時他們距離家還有多遠?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的對稱軸為直線,與軸的一個交點為,且,下列結(jié)論:①;②;③.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】如圖,是拋物線圖象的一部分,已知拋物線的對稱軸是,與軸的一個交點是,有下列結(jié)論:
①;
②;
③;
④拋物線與軸的另一個交點是;
⑤點,都在拋物線上,則有.
其中正確的是( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE,交AC于點D,交AB于點E.(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明);
(2)連接BD,求證:BD平分∠CBA.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】圖①、圖②均是5×6的正方形網(wǎng)格,每個小正方形的頂點稱為格點,小正方形的邊長為1,點A、E、F均在格點上.在圖①、圖②中,只用無刻度的直尺,在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖,所畫圖形的頂點均在格點上,不要求寫出畫法.
(1)在圖①中畫一個正方形ABCD,使其面積為5.
(2)在圖②中畫一個等腰△EFG,使EF為其底邊.
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