Question

如圖，已知矩形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形的對稱中心E，且與邊BC交于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若過點(diǎn)D的直線y=mx+n將矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，求此直線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

專題：代數(shù)綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）根據(jù)中心對稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出k，然后根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等代入求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出CD，再根據(jù)梯形的面積分兩種情況求出OF的長，然后寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式即可．

解答：解：（1）∵矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），E是矩形ABCD的對稱中心，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），
代入反比例函數(shù)解析式得，

k

2

=1，
解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

，
∵點(diǎn)D在邊BC上，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，
∴y=2時(shí)，

2

x

=2，
解得x=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）如圖，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，
矩形OABC的面積=4×2=8，
∵矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，
∴梯形OFDC的面積為

3

3+5

×8=3，
或

5

3+5

×8=5，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），
∴若

1

2

（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），
若

1

2

（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），與點(diǎn)A重合，
當(dāng)D（1，2），F(xiàn)（2，0）時(shí)，

m+n=2 2m+n=0

，
解得

m=-2 n=4

，
此時(shí)，直線解析式為y=-2x+4，
當(dāng)D（1，2），F(xiàn)（4，0）時(shí)，

m+n=2 4m+n=0

，
解得

m=- 2 3 n= 8 3

，
此時(shí)，直線解析式為y=-

2

3

x+

8

3

，
綜上所述，直線的解析式為y=-2x+4或y=-

2

3

x+

8

3

．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，（1）根據(jù)中心對稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（2）難點(diǎn)在于要分情況討論．