Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y₁=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2=

k

x

(k≠0)的圖象交于第一、三象限內(nèi)的A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（2，m），點B的坐標為（n，-2），tan∠BOC=

2

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）當y₁＞y₂時，利用圖象求x的取值范圍；
（3）延長BO交第一象限的雙曲線于點D，連結(jié)AD判斷直線AD與AB的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：計算題

分析：（1）過B作BM垂直于x軸，在直角三角形BOM中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠BOC，根據(jù)B的坐標確定出BM的長，進而求出OM的長，確定出B坐標，代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，將A坐標代入反比例解析求出m的值，確定出A坐標，將A與B代入一次函數(shù)解析式求出a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）利用函數(shù)圖象求出滿足題意x的范圍即可；
（3）AD⊥AB，理由為：根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)直線BO解析式為y=px，將B坐標代入求出p的值，確定出直線BO解析式，與反比例解析式聯(lián)立求出D坐標，進而分別求出直線AD與直線AB斜率，根據(jù)斜率乘積為-1即可得證．

解答：解：（1）過B作BM⊥x軸，交x軸于點M，
在Rt△BOM中，tan∠BOC=

BM

OM

=

2

5

，
∵B（n，-2），
∴OM=-n，BM=2，
∴n=-5，即B（-5，-2），
將B坐標代入反比例解析式得：k=10，
∴反比例解析式為y₂=

10

x

；
將A（2，m）代入反比例解析式得：m=5，即A（2，5），
將A與B坐標代入一次函數(shù)解析式得：

-5a+b=-2 2a+b=5

，
解得：

a=1 b=3

，
則一次函數(shù)解析式為y₁=x+3；
（2）∵y₁=x+3，y₂=

10

x

，且y₁＞y₂，A（2，5），B（-5，-2），
∴由圖形得：當y₁＞y₂時，x的取值范圍為x＞2或-5＜x＜0；
（3）AD⊥AB，理由為：
設(shè)直線BO解析式為y=px，
將B（-5，-2）代入得：-2=-5p，即p=0.4，
∴直線BO解析式為y=0.4x，
與反比例解析式聯(lián)立得：

y=0.4x y= 10 x

，
消去y得：0.4x=

10

x

，
解得：x=5或x=-5（舍去），
將x=5代入反比例解析式得：y=

10

5

=2，
∴D（5，2），
∵直線AD斜率為

2-5

5-2

=-1，直線AB斜率為1，即斜率乘積為-1，
∴AD⊥AB．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)定義，坐標與圖形性質(zhì)，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．