Question

【題目】在四邊形中，．

（1）如圖，若，，，求的長(zhǎng)；

（2）如圖，若，連接，求證：平分；

（3）在（2）的條件下，若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度為________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求出BD，再根據(jù)勾股定理求出BC即可；

（2）連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于E，可得四邊形AECF是矩形，然后證明△CFD≌△CEB，求出CF＝CE，可得四邊形AECF是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求出BE＝1，可得正方形AECF的邊長(zhǎng)為4，然后根據(jù)勾股定理可求出AC的長(zhǎng)度．

解：（1）∵，

∴，

∴；

（2）連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于E，

則∠CFA＝∠FAE＝∠AEC＝90°，

∴四邊形AECF是矩形，

∴∠FCE＝90°，

∵∠DCB＝90°，

∴∠DCF＝∠BCE，

又∵∠CFD＝∠CEB＝90°，CD＝CB，

∴△CFD≌△CEB，

∴CF＝CE，

∴四邊形AECF是正方形，

∵AC是對(duì)角線，

∴平分；

（3）由（2）可知，△CFD≌△CEB，

∴DF＝BE，

∵四邊形AECF是正方形，，，

∴AE＝AF，即AB＋BE＝AD－DF，

∴3＋BE＝5－BE，

∴BE＝1，

∴AE＝4，

∴AC＝．