【題目】菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AC=4 ,BD=4,動點(diǎn)P在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動,PF⊥AB于點(diǎn)F,四邊形PFBG關(guān)于BD對稱,四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對稱.設(shè)菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S1 , 未被蓋住部分的面積為S2 , BP=x.
(1)用含x的代數(shù)式分別表示S1 , S2;
(2)若S1=S2 , 求x的值.
【答案】
(1)解:①當(dāng)點(diǎn)P在BO上,0<x≤2時,如圖1所示.
∵四邊形ABCD是菱形,AC=4 ,BD=4,
∴AC⊥BD,BO= BD=2,AO= AC=2 ,
且S菱形ABCD= BDAC=8 .
∴tan∠ABO= = .
∴∠ABO=60°.
在Rt△BFP中,
∵∠BFP=90°,∠FBP=60°,BP=x,
∴sin∠FBP= =sin60°= .
∴FP= x.
∴BF= .
∵四邊形PFBG關(guān)于BD對稱,
四邊形QEDH與四邊形PEBG關(guān)于AC對稱,
∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ.
∴S1=4S△BFP
=4× × x
= .
∴S2=8 ﹣ .
②當(dāng)點(diǎn)P在OD上,2<x≤4時,如圖2所示.
∵AB=4,BF= ,
∴AF=AB﹣BF=4﹣ .
在Rt△AFM中,
∵∠AFM=90°,∠FAM=30°,AF=4﹣ .
∴tan∠FAM= =tan30°= .
∴FM= (4﹣ ).
∴S△AFM= AFFM
= (4﹣ ) (4﹣ )
= (4﹣ )2.
∵四邊形PFBG關(guān)于BD對稱,
四邊形QEDH與四邊形FPBG關(guān)于AC對稱,
∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN.
∴S2=4S△AFM
=4× (4﹣ )2
= (x﹣8)2.
∴S1=8 ﹣S2=8 ﹣ (x﹣8)2.
綜上所述:
當(dāng)0<x≤2時,S1= ,S2=8 ﹣ ;
當(dāng)2<x≤4時,S1=8 ﹣ (x﹣8)2,S2= (x﹣8)2
(2)解:①當(dāng)點(diǎn)P在BO上時,0<x≤2.
∵S1=S2,S1+S2=8 ,
∴S1=4 .
∴S1= =4 .
解得:x1=2 ,x2=﹣2 .
∵2 >2,﹣2 <0,
∴當(dāng)點(diǎn)P在BO上時,S1=S2的情況不存在.
②當(dāng)點(diǎn)P在OD上時,2<x≤4.
∵S1=S2,S1+S2=8 ,
∴S2=4 .
∴S2= (x﹣8)2=4 .
解得:x1=8+2 ,x2=8﹣2 .
∵8+2 >4,2<8﹣2 <4,
∴x=8﹣2 .
綜上所述:若S1=S2,則x的值為8﹣2 .
【解析】(1)根據(jù)對稱性確定E、F、G、H都在菱形的邊上,由于點(diǎn)P在BO上與點(diǎn)P在OD上求S1和S2的方法不同,因此需分情況討論.(2)由S1=S2和S1+S2=8 可以求出S1=S2=4 .然后在兩種情況下分別建立關(guān)于x的方程,解方程,結(jié)合不同情況下x的范圍確定x的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用菱形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半;關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形;如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱,那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線;兩個圖形關(guān)于某直線對稱,如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交,那么交點(diǎn)在對稱軸上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)﹣2≤x≤1時,二次函數(shù)y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,則實數(shù)m的值為( )
A.﹣
B. 或
C.2或
D.2或 或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知2014年3月份在某醫(yī)院出生的20名新生嬰兒的體重如下(單位:kg)
4.7 2.9 3.2 3.5 3.8 3.4 2.8 3.3 4.0 4.5
3.6 4.8 4.3 3.6 3.4 3.5 3.6 3.5 3.7 3.7
(1)求這組數(shù)據(jù)的極差;
(2)若以0.4kg為組距,對這組數(shù)據(jù)進(jìn)行分組,制作了如下的“某醫(yī)院2014年3月份20名新生嬰兒體重的頻數(shù)分布表”(部分空格未填),請在頻數(shù)分布表的空格中填寫相關(guān)的量
某醫(yī)院2014年3月份20名新生兒體重的頻數(shù)分布表
組別(kg) | 劃記 | 頻數(shù) |
略 | ||
略 | ||
3.55﹣3.95 | 正一 | 6 |
略 | ||
略 | ||
略 | ||
合計 | 20 |
(3)經(jīng)檢測,這20名嬰兒的血型的扇形統(tǒng)計圖如圖所示(不完整),求:
①這20名嬰兒中是A型血的人數(shù);
②表示O型血的扇形的圓心角度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)A,B,C都在半徑為r的圓上,直線AD⊥直線BC,垂足為D,直線BE⊥直線AC,垂足為E,直線AD與BE相交于點(diǎn)H.若BH= AC,則∠ABC所對的弧長等于(長度單位).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖中的數(shù)陣是由全體正奇數(shù)排成的.
(1)圖中平行四邊形框內(nèi)的九個數(shù)之和與中間的數(shù)有什么關(guān)系?
(2)在圖中任意作一個類似(1)中的平行四邊形框,這九個數(shù)之和還有這種規(guī)律嗎?請說出理由.這九個數(shù)之和能等于2 016嗎?2 015,2 025呢?若能,請寫出這九個數(shù)中最小的一個;若不能,請說出理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線lAC:y=﹣交x軸、y軸分別為A、C兩點(diǎn),直線BC⊥AC交x軸于點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC的解析式;
(2)將△OBC關(guān)于BC邊翻折,得到△O′BC,過點(diǎn)O′作直線O′E垂直x軸于點(diǎn)E,F(xiàn)是y軸上一點(diǎn),P是直線O′E上任意一點(diǎn),P、Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,當(dāng)|PA﹣PC|最大時,請求出QF+FC的最小值;
(3)若M是直線O′E上一點(diǎn),且QM=3,在(2)的條件下,在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在點(diǎn)N,使得以Q、F、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的兩個頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(﹣2,0),(﹣1,0),BC⊥x軸,將△ABC以y軸為對稱軸作軸對稱變換,得到△A′B′C′(A和A′,B和B′,C和C′分別是對應(yīng)頂點(diǎn)),直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)A,C′,則點(diǎn)C′的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“龜兔首次賽跑”之后,輸了比賽的兔子沒有氣餒,總結(jié)反思后,和烏龜約定再賽一場.圖中的函數(shù)圖象刻畫了“龜兔再次賽跑”的故事(x表示烏龜從起點(diǎn)出發(fā)所行的時間,y1表示烏龜所行的路程,y2表示兔子所行的路程).有下列說法:
①“龜兔再次賽跑”的路程為1000米;
②兔子和烏龜同時從起點(diǎn)出發(fā);
③烏龜在途中休息了10分鐘;
④兔子在途中750米處追上烏龜.
其中正確的說法是 .(把你認(rèn)為正確說法的序號都填上)
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