Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△DEC，點F是DE上一動點，以點F為圓心，FD為半徑作⊙F，當FD＝_____時，⊙F與Rt△ABC的邊相切．

Answer 1

【答案】或

【解析】

如圖1，當⊙F與Rt△ABC的邊AC相切時，切點為H，連接FH，則HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根據(jù)旋轉的性質得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根據(jù)相似三角形的性質得到DF＝；如圖2，當⊙F與Rt△ABC的邊AC相切時，延長DE交AB于H，推出點H為切點，DH為⊙F的直徑，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．

如圖1，當⊙F與Rt△ABC的邊AC相切時，切點為H，

連接FH，則HF⊥AC，

∴DF＝HF，

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝＝，

∴AC＝4，AB＝5，

將Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△DEC，

∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，

∵FH⊥AC，CD⊥AC，

∴FH∥CD，

∴△EFH∽△EDC，

∴＝，

∴＝，

解得：DF＝；

如圖2，當⊙F與Rt△ABC的邊AC相切時，延長DE交AB于H，

∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC

∴∠AHE＝90°，

∴點H為切點，DH為⊙F的直徑，

∴△DEC∽△DBH，

∴＝，

∴＝，

∴DH＝，

∴DF＝，

綜上所述，當FD＝或時，⊙F與Rt△ABC的邊相切，

故答案為：或．