Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC、CE．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=

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，BC-AC=2，求CE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，而DC=CB，根據(jù)線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)得AB=AD，于是得到∠B=∠D；
（2）設(shè)AC=x，則BC=x+2，在Rt△ABC中，利用勾股定理可計算出解得x=3或-5（舍去），即BC=5，由于∠E=∠B，則∠D=∠E，所以CE=5．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵DC=CB，
∴AC垂直平分DB，
∴AB=AD，
∴∠B=∠D；
（2）解：設(shè)AC=x，則BC=x+2，
在Rt△ABC中，（x+2）²+x²=（

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）²，
解得x=3或-5（舍去），即BC=5，
∵∠E=∠B，
∴∠D=∠E，
∴CE=CD=BC=5．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了勾股定理．