Question

如圖，矩形OABC放置在平面直角坐標中，A、C分別在x軸和y軸上，點B在直線y=

1

2

x上，OB=8

5

．P、Q兩點同時從矩形OABC的頂點C點出發(fā)，分別以1cm/s和2cm/s的速度沿C→O→A→B→C運動，當Q點回到C點時，P、Q兩點立即停止運動，設(shè)點P、Q運動時間為ts．
（1）求點B的坐標；
（2）是否存在某一時刻，使得QP垂直平分OB？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變Q點的出發(fā)時間，使得QP垂直平分OB．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)B在直線y=

1

2

x上，設(shè)B的坐標為（m，

1

2

m），表示出AB與OA，根據(jù)OB的長，利用勾股定理求出m的值，即可確定出B坐標；
（2）假設(shè)存在，由題意表示出CQ與QB，由PQ垂直平分OB，得到OQ=QB，OD=BD，在Rt△COQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到Q用的時間，進而求出QB的長，利用AAS得到三角形BQD與三角形OPD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OP=BQ，求出P點用的時間，根據(jù)兩時間不相等得到不存在某一時刻，使得QP垂直平分OB，根據(jù)兩點的時間差即可得到改變Q點出發(fā)時間．

解答：解：（1）設(shè)點B的坐標為（m，

1

2

m），
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：m²+（

1

2

m）²=（8

5

）²，
解得：m=16，
∴B（16，8）；       
             
（2）假設(shè)存在，由題意得，CQ=48-2t，QB=2t-32，
∵PQ垂直平分OB，
∴OQ=QB，OD=BD，
在Rt△COQ中，根據(jù)勾股定理得：（48-2t）²+64=（2t-32）²，
解得：t_Q=21，
∴QB=2t-32=10，
∵BC∥OA，
∴∠BQD=∠POD，
在△BQD和△OPD中，

∠BQD=∠POD ∠BDQ=∠ODP BD=OD

，
∴△BQD≌△OPD（AAS），
∴OP=BQ，
∴t_P=18，
∴t_Q≠t_P，
∴不存在，
∴Q點早出發(fā)3s即可．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：勾股定理，線段垂直平分線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．