Question

【題目】在等邊△ABC中，

（1）如圖1，若D為線段BC中點(diǎn)，線段AD關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)線段為線段AE，連接DE，求∠BDE的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接AD并將線段AD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接BE.

①根據(jù)題意在圖2中補(bǔ)全圖形；

②小玉通過(guò)觀察、驗(yàn)證，提出猜測(cè)：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，恒有CD=BE.請(qǐng)幫助小玉證明CD=BE.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）∠EDB=30°；

（2）作圖見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)題目已知條件由等腰三角形三線合一性質(zhì)可以得出∠ADB=90°，∠BAD=30°，再由AD關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)線段為線段AE可以得出∠EAD=60°，從而可以證明△ADE是等邊三角形，繼而得出∠ADE=60°，最后計(jì)算出∠EDB=30°；（2）要證明CD=BE，我們可以通過(guò)證明△EAB≌△DAC證得.

試題解析：

（1）解：∵等邊△ABC中， D為線段BC中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，

即∠ADB=90°，∠BAD=30°，

∵AD關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)線段為線段AE，

∴AD=AE，∠EAB=∠BAD=30°，

∴∠EAD=60°，∴△EAD為等邊三角形，

∴∠ADE=60°，∴∠EDB=30°；

（2）作圖略，

證明：如圖，連接AE.

∵AD=DE，∠ADE=60°，

∴△ADE為等邊三角形，

∴AE=AD，∠EAD=60°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠EAD =∠BAC，

∴∠EAB=∠DAC，

在△EAB和△DAC中，

，

∴△EAB≌△DAC,

∴CD=BE.