Question

如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5．求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：正弦定理與余弦定理

專題：

分析：首先作點A關(guān)于CD的對稱點E，進而得出△ADE為等邊三角形，再證明△BAE≌△CAD（SAS），再利用余弦定理得出AB²的值，進而得出S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ABC+

1

2

S_{四邊形ACED}求出即可．

解答：解：作點A關(guān)于CD的對稱點E，連接DE，CE，BE，
則有AD=ED=3，∠1=∠ADC=30°，
故∠ADE=2∠ADC=60°，
則△ADE為等邊三角形，
故AE=DE=AD=3，∠DAE=∠2=60°，CD⊥AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+∠CAE=∠DAE+∠CAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中
∵

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠3=∠ADC=30°，BE=CD，
∴∠BED=∠3+∠2=30°+60°=90°，
∴CD=BE=

BD2-DE2

=

52-32

=4，
在△AEB中，由余弦定理，則：
AB²=AE²+BE²-2×AE×BE×cos∠3
=3²+4²-2×3×4×cos30°
=25-12

3

，
則S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ABC+

1

2

S_{四邊形ACED}
=

1

2

×AB×AC×sin∠BAC+

1

2

×

1

2

×AE×CD
=

1

2

（25-12

3

）×sin60°+

1

2

×

1

2

×3×4
=

25 3

4

-6．

點評：此題主要考查了余弦定理和全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出AB²的值是解題關(guān)鍵．