Question

5．如圖，點(diǎn)C在⊙O的直徑BA的延長(zhǎng)線上，AB=2AC，CD切⊙O于點(diǎn)D，連接CD，OD．
（1）求角C的正切值：
（2）若⊙O的半徑r=2，求BD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CD切⊙O于點(diǎn)D，得出CD⊥OD，再根據(jù)AB=2CA，求出∠C=30°，即可得出答案；
（2）連接AD，證得△DAO是等邊三角形，求出DA=r=2，再根據(jù)勾股定理可求得BD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴CD⊥OD，
又∵AB=2AC，
∴OD=AO=AC=$\frac{1}{2}$CO
∴∠C=30°
∴tan∠C=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠DOA=90°-30°=60°，
又∵OD=OA，
∴△DAO是等邊三角形．
∴DA=r=2，
∴DB=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，得出直角三角形．