Question

已知拋物線y=x²-（m²+8）x+2（m²+6）．
（Ⅰ）試求該拋物線與x軸是否相交？
（Ⅱ）若拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交點為C，試判斷∠ABC的大小與m的取值有何關系？
（Ⅲ）設拋物線的頂點為P，PD⊥x軸，點D為垂足，若S_△ABC=3S_△ABP，試判斷PA與BC的位置關系，并說明理由；
（Ⅳ）在（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的條件下，若y軸正半軸上有一點N，使以A，O，N為頂點的三角形與以P、A、D為頂點的三角形相似，求N點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（Ⅰ）該拋物線與x軸是相交，只要計算b²-4ac的值，可知其大于0，所以拋物線和x軸相交；
（Ⅱ）∠ABC的大小與m的取值無關，易求OA，OB，OC的長，再計算tan∠ABC的值，可得為定值2，所以∠ABC的大小和m的值無關；
（Ⅲ）PA與BC的位置關系是PA∥BC，根據(jù)已知條件可證明△BOC∽△ADP，由相似三角形的性質(zhì)可得：∠OBC=∠DAP，所以PA∥BC；
（Ⅳ）以A，O，N為頂點的三角形與以P、A、D為頂點的三角形相似時，對應邊不確定，所以要分兩種情況分別討論，求出符合題意N的坐標即可．

解答：解：（Ⅰ）該拋物線與x軸是相交，理由如下：
∵b²-4ac=（m²+8）²-8（m²+6）=（m²+4）²＞0，
∴拋物線與x軸有兩個交點．                                        
（Ⅱ）∠ABC的大小與m的取值無關，理由如下：
∵方程x²-（m²+8）x+2（m²+6）=0的兩根為x₁=2，x₂=m²+6，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B左側），
∴OA=2，OB=m²+6，OC=2（m²+6），
∴tan∠ABC=

OC

OB

=

2(m2+6)

m2+6

=2，
∴∠ABC的大小與m的取值無關．                                   
（Ⅲ）如圖，∵S_△ABC=3S_△ABP，
∴

1

2

AB•OC=

3

2

AB|PD|，
∴OC=3|PD|，
即2（m²+6）=3|

-(m2+4)2

4

|，
化簡，得m²（3m²+16）=0，
∵3m²+16=0無解，
∴m=0，
∴當m=0時，y=x²-8x+12，
∴A（2，0）B（6，0），C（0，12），
∴AD=2，PD=4，OB=6，OC=12，
∴

OB

DA

=

OC

DP

=3，
∵∠BOC=∠ADP，
∴△BOC∽△ADP，
∴∠OBC=∠DAP，
∴PA∥BC．                                    
（Ⅳ）①若△NOA∽△PDA，則

OA

DA

=

ON

DP

，
即

2

2

=

ON

4

，
解得：ON=4，
∴N（0，4），
②若△NOA∽△ADP，則

ON

DA

=

OA

DP

，
即

ON

2

=

2

4

，
解得：NO=1，
∴N（0，1）．

點評：此題考查了拋物線解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定、三角形面積的求法等重要知識點，（Ⅳ）小題中，用到了分類討論的數(shù)學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．