Question

如圖①，直線l：y=mx+n（m＜0，n＞0）與x，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，過點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．
（1）若l：y=-2x+2，則P表示的函數(shù)解析式為

 

；若P：y=-x²-3x+4，則l表示的函數(shù)解析式為

 

．
（2）求P的對稱軸（用含m，n的代數(shù)式表示）；
（3）如圖②，若l：y=-2x+4，P的對稱軸與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在l上，點(diǎn)Q在P的對稱軸上．當(dāng)以點(diǎn)C，E，Q，F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）如圖③，若l：y=mx-4m，G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM．若OM=

10

，直接寫出l，P表示的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,一次函數(shù)的應(yīng)用,勾股定理,等腰直角三角形,平行四邊形的性質(zhì),作圖-旋轉(zhuǎn)變換

專題：壓軸題,新定義

分析：（1）若l：y=-2x+2，求出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出P表示的函數(shù)解析式；若P：y=-x²-3x+4，求出點(diǎn)D、A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出l表示的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)對稱軸的定義解答即可；
（3）以點(diǎn)C，E，Q，F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，則有FQ∥CE，且FQ=CE．以此為基礎(chǔ)，列方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．注意：點(diǎn)Q的坐標(biāo)有兩個(gè)，如答圖1所示，不要漏解；
（4）如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形OGH，求出OG的長度，進(jìn)而由AB=2OG求出AB的長度，再利用勾股定理求出y=mx-4m中m的值，最后分別求出l，P表示的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）若l：y=-2x+2，則A（1，0），B（0，2）．
∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，
∴D（-2，0）．
設(shè)P表示的函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，將點(diǎn)A、B、D坐標(biāo)代入得：

a+b+c=0 c=2 4a-2b+c=0

，
解得

a=-1 b=-1 c=2

，
∴P表示的函數(shù)解析式為：y=-x²-x+2；
若P：y=-x²-3x+4=-（x+4）（x-1），
則D（-4，0），A（1，0）．
∴B（0，4）．
設(shè)l表示的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入得：

k+b=0 b=4

，解得

k=-4 b=4

，
∴l(xiāng)表示的函數(shù)解析式為：y=-4x+4．

（2）直線l：y=mx+n（m＞0，n＜0），
令y=0，即mx+n=0，得x=-

n

m

；
令x=0，得y=n．
∴A（-

n

m

，0）、B（0，n），
∴D（-n，0）．
設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為N（x，0），
∵DN=AN，
∴-

n

m

-x=x-（-n），
∴2x=-n-

n

m

，
∴P的對稱軸為x=-

mn+n

2m

．

（3）若l：y=-2x+4，則A（2，0）、B（0，4），
∴C（0，2）、D（-4，0）．
可求得直線CD的解析式為：y=

1

2

x+2．
由（2）可知，P的對稱軸為x=-1．
∵以點(diǎn)C，E，Q，F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形，
∴FQ∥CE，且FQ=CE．
設(shè)直線FQ的解析式為：y=

1

2

x+b．
∵點(diǎn)E、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相差1，
∴點(diǎn)F、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也是相差1．
則|x_F-（-1）|=|x_F+1|=1，
解得x_F=0或x_F=-2．
∵點(diǎn)F在直線l_l：y=-2x+4上，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，4）或（-2，8）．
若F（0，4），則直線FQ的解析式為：y=

1

2

x+4，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=

7

2

，
∴Q₁（-1，

7

2

）；
若F（-2，8），則直線FQ的解析式為：y=

1

2

x+9，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=

17

2

，
∴Q₂（-1，

17

2

）．
∴滿足條件的點(diǎn)Q有2個(gè)，如答圖1所示，點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q₁（-1，

7

2

）、Q₂（-1，

17

2

）．

（4）如答圖2所示，連接OG、OH．
∵點(diǎn)G、H為斜邊中點(diǎn)，
∴OG=

1

2

AB，OH=

1

2

CD．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴△OGH為等腰直角三角形．
∵點(diǎn)G為GH中點(diǎn)，
∴△OMG為等腰直角三角形，
∴OG=

2

OM=

2

•

10

=2

5

，
∴AB=2OG=4

5

．
∵l：y=mx-4m，
∴A（4，0），B（0，-4m）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
即：4²+（-4m）²=（4

5

）²，
解得：m=-2或m=2，
∵點(diǎn)B在y軸正半軸，
∴m=2舍去，∴m=-2．
∴l(xiāng)表示的函數(shù)解析式為：y=-2x+8；
∴B（0，8），D（-8，0）．
又A（4，0），
利用待定系數(shù)法求得P：y=-

1

4

x²-x+8．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形、等腰直角三角形、勾股定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．題干中定義了“關(guān)聯(lián)拋物線”與“關(guān)聯(lián)直線”的新概念，理解這兩個(gè)概念是正確解題的前提．