Question

如圖，在?ABCD中，AE、AF是高，∠BAE=30°，BE=2，CF=1，DE交AF于點(diǎn)G．
（1）求?ABCD的面積；
（2）求證：△AEG是等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定,含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）求出AB=2BE=4，AE=

AB2-BE2

=2

3

，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD=4，BC=AD，∠ADC=∠B=60°，求出DF=3，求出AD的長，即可得出BC，根據(jù)面積公式求出即可；     
（2）求出∠BAD=∠C=120°，∠EAF=60°，求出EC=CD=4，得出∠2=∠3=

1

2

（180°-∠C）=30°，求出∠AEG=90°-∠2=60°，根據(jù)等邊三角形的判定得出即可．

解答：（1）解：∵在Rt△AEB中，∠1=30°，BE=2，
∴∠B=60°，AB=2BE=4，
∴AE=

AB2-BE2

=2

3

，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=4，BC=AD，∠ADC=∠B=60°，
∵CF=1，
∴DF=3，
∴在Rt△ADF中，∠DAF=90°-60°=30°，則AD=2DF=6，
∴BC=6，
∴S_{平行四邊形ABCD}=BC×AE=6×2

3

=12

3

；   
  
（2）證明：由（1）知：∠DAF=30°，∠BAD=180°-∠B=120°，
即∠C=120°，
∴∠EAF=∠BAD-∠1-∠DAF=60°，
∵BC=6，BE=2，
∴EC=BC-BE=4=CD，
∴∠2=∠3=

1

2

（180°-∠C）=30°，
∴∠AEG=90°-∠2=60°，
∴∠EAG=∠AEG=∠AGE=60°，
∴△AEG是等邊三角形

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．