Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出t的值，如果不能，說明理由；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形BEDF能否為正方形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)t=10時(shí)，四邊形AEFD是菱形；（3）四邊形BEDF不能為正方形，理由見解析.

【解析】

（1）由已知條件可得RT△CDF中∠C=30°，即可知DF= CD=AE=2t；

（2）由（1）知DF∥AE且DF=AE，即四邊形ADFE是平行四邊形，若構(gòu)成菱形，則鄰邊相等即AD=AE，可得關(guān)于t的方程，求解即可知；

（3）四邊形BEDF不為正方形，若該四邊形是正方形即∠EDF=90°，即DE∥AB，此時(shí)AD=2AE=4t，根據(jù)AD+CD=AC求得t的值，繼而可得DF≠BF，可得答案．

(1)∵Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°，

∴∠C=90°∠A=30°.

又∵在Rt△CDF中,∠C=30°，CD=4t

∴DF=CD=2t，

∴DF=AE；

(2)∵DF∥AB，DF=AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，

即604t=2t，解得：t=10，

即當(dāng)t=10時(shí)，四邊形AEFD是菱形；

(3)四邊形BEDF不能為正方形，理由如下：

當(dāng)∠EDF=90°時(shí),DE∥BC.

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t+4t=60，

∴t= 時(shí),∠EDF=90°

但BF≠DF，

∴四邊形BEDF不可能為正方形。