Question

6．關(guān)下x的方程|$\frac{{x}^{2}}{x-1}$|=a僅有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是0＜a＜4．

Answer 1

分析 先把分式方程去分母化成x²=a|x-1|，根據(jù)實際意義得：a＞0，x≠1，再將x-1分情況討論：當x-1＞0時，當x-1＜0時，去掉絕對值后計算△的值，分三種情況列不等式或等式，求a的取值．

解答 解：原方程可化為：x²=a|x-1|（a＞0，x≠1），
當x-1＞0時，x²=a（x-1），
x²-ax+a=0，
△₁=a²-4a=a（a-4），
當x-1＜0時，x²=-a（x-1），
x²+ax-a=0，
△₂=a²+4a=a（a+4），
∵方程|$\frac{{x}^{2}}{x-1}$|=a僅有兩個不同的實根，
∴分三種情況：
①當△₁＞0，△₂＜0時，原方程有兩個不同的實根，
則$\left\{\begin{array}{l}{a（a-4）＞0}\\{a（a+4）＜0}\end{array}\right.$，此不等式組無解；
②當△₁＜0，△₂＞0時，原方程有兩個不同的實根，
則$\left\{\begin{array}{l}{a（a-4）＜0}\\{a（a+4）＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜4；
③當△₁=0，△₂=0時，原方程有兩個不同的實根，
則$\left\{\begin{array}{l}{a（a-4）=0}\\{a（a+4）=0}\end{array}\right.$，此方程組無解
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是0＜a＜4．
故答案為：0＜a＜4．

點評 本題考查了根據(jù)分式方程的解求字母取值問題，此類問題容易出錯，因此要注意：①考慮分母不能為0；②注意增根的出現(xiàn)，解方程后要檢驗，原因是在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．