Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A點的坐標為（3，0），以OA為邊作等邊△OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C，動點P從O點出發(fā)沿OC向C點運動，動點Q從B點出發(fā)沿BA向A點運動，P，Q兩點同時出發(fā)速度均為1個單位/秒．當其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止．設運動時間為t秒．求：過點Q作x軸垂線，垂足為H，問t為何值時，以P，Q，H為頂點的三角形與△ABC相似．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：過點Q作x軸垂線，垂足為H，設運動時間為t秒，分兩種情況①當△PHQ∽△ABC時，②當△QHP∽△ABC時，分別利用PH與QH的關(guān)系求解即可．

解答：解：如圖，過點Q作x軸垂線，垂足為H，設運動時間為t秒，

∵△OAB是等邊三角形，
∴QH=AQ•sin60°=

3 (3-t)

2

，
①當△PHQ∽△ABC時，∠QPH=60°，可得PH=

3

3

QH，
∵PH=AP-AH=3+t-

1

2

（3-t），
∴3+t-

1

2

（3-t）=

3

3

×

3 (3-t)

2

，
解得t=0．
②當△QHP∽△ABC時，∠QPH=30°，可得PH=

3

QH，
∵PH=AP-AH=3+t-

1

2

（3-t），
∴3+t-

1

2

（3-t）=

3

×

3 (3-t)

2

，
解得t=1．
綜上所述，t=0或t=1時，以P，Q，H為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論．