Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB=6.

（1）求這條拋物線的對稱軸及表達(dá)式；

（2）在y軸上取點(diǎn)E（0,2），點(diǎn)F為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BF、EF，如果，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）在第（2）小題的條件下，點(diǎn)F在拋物線對稱軸右側(cè)，點(diǎn)P在軸上且在點(diǎn)B左側(cè)，如果直線PF與y軸的夾角等于∠EBF，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），對稱軸；（2）或；（3）

【解析】

（1）先將拋物線表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，得出對稱軸x=1,再根據(jù)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離為6，可以得出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出解析式.

（2）利用S四邊形OEFB=S△OEF+S△OBF列方程求解.

（3）找出兩等角所在的三角形，構(gòu)造一組相似三角形求解.

解：（1）將化為一般式得，

，

∴這條拋物線的對稱軸為x=1.

又拋物線與軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB=6，

∴根據(jù)對稱性可得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2，0),B(4，0).

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，可解得m=,

∴所求拋物線的解析式為.

（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t, t2+t+4），如圖1可知

S四邊形OEFB=S△OEF+S△OBF

=×2×t+×4×（t2+t+4）=10，

解得，t=1或t=2,

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或.

（3）假設(shè)直線PF與y軸交于點(diǎn)H,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,連接CF，

則根據(jù)題意得∠FHC=∠EBF,

由（2）得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,4)，又點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4),

∴CF∥x軸，

過點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G，

有△CFH∽△GFB.

在△BEF中，根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)可以求得BE=BF=2，EF=2，

根據(jù)面積法可求得FG=,∴BG=

設(shè)直線FP的解釋式為y=kx+b,則OH=b,

∴CH=4-b,

∴

∴解得b=.

將點(diǎn)F的坐標(biāo)（2,4）代入FP的解析式可得，k=,

即FP的解析式為y=x+,

令y=0,可得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）.