Question

如圖1，△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠E=90°，AE=a，AB=b，且（a＜b），點(diǎn)D在AC上，連接BD，BD=c．
（1）如果c=

5

2

a，①求

a

b

的值；
②若a，b是關(guān)于x的方程x²-mx+

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

=0的兩根，求m；
（2）如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使BE=100，連接DC，求五邊形ABCDE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),根與系數(shù)的關(guān)系,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）①延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，表示出DF、BF，然后利用勾股定理列出方程，再把c=

5

2

a代入求出a、b的關(guān)系即可；
②利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出a+b，ab，然后消掉a、b得到關(guān)于m的一元二次方程，然后求解即可；
（2）過(guò)A，C，D分別向BE作垂線，垂足分別為H，M，N，根據(jù)同角的余角相等求出∠HAE=∠NED，然后利用“角角邊”證明△AHE和△END全等，同理可證△AHB≌BMC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AH=MB=EN，MC=BH，DN=EH，設(shè)AH=h，然后根據(jù)五邊形的面積等于兩對(duì)全等三角形的面積加上梯形的面積列式整理即可得解．

解答：（1）解：①延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，
DF=b-a，BF=a，
在Rt△DHB中由勾股定理得，a²+（b-a）²=c²，
又∵c=

5

2

a，
∴（a-2b）（3a-2b）=0，
∴a=2b或3a=2b，
又∵a＜b，
∴

a

b

=

2

3

；
②由根與系數(shù)的關(guān)系a+b=m，ab=

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

，
由a+b=m，

a

b

=

2

3

，
解得a=

2

5

m，b=

3

5

m，
所以，

6

25

m²=

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

，
整理得，m²+2m-3=0，
解得m₁=-3，m₂=1，
∵a+b=m＞0，
∴m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，方程為x²-x+

6

25

=0，這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的正根，
所以，m=1符合題意；

（2）解：過(guò)A，C，D分別向BE作垂線，垂足分別為H，M，N，
∵∠AEH+∠DEN=90°，
∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠NED，
在△AHE與△END中，

∠HAE=∠NED ∠AHE=∠END AE=ED

，
∴△AHE≌△END（AAS），
同理可證△AHB≌BMC，
則AH=MB=EN，MC=BH，DN=EH，
設(shè)AH=h，
五邊形ABCDE的面積為100h+

100×(100-2h)

2

=5000．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．