Question

如圖，正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)E在一直線上，點(diǎn)G在線段CD上，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角度（0°＜θ＜180°），得到正方形CE′F′G′（點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E′，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G′），連接DG′，BE′過點(diǎn)C作CN⊥BE′，垂足為N，直線CN交線段DG′于點(diǎn)M．
（1）求證：點(diǎn)M為DG′的中點(diǎn)；
（2）求證：CM=

1

2

BE′．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）作出圖形，過點(diǎn)D作DH⊥CM角CM的延長線于H，過點(diǎn)G′作G′K⊥CM于K，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，根據(jù)同角的余角相等求出∠CBN=∠DCH，然后利用“角角邊”證明△BCN和△CDH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CN=DH，同理可證CN=G′K，再利用“角角邊”證明△DHN和△G′KM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=G′M，從而得證；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN=CH，E′N=CK，MK=MH，然后表示出MK、MH，整理即可得證．

解答：證明：（1）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥CM角CM的延長線于H，過點(diǎn)G′作G′K⊥CM于K．
在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCH=90°，
∵CN⊥BE′，
∴∠CBN+∠BCN=90°，
∴∠CBN=∠DCH，
在△BCN和△CDH中，

∠CBN=∠DCH ∠BNC=∠CHD=90° BC=CD

，
∴△BCN≌△CDH（AAS），
∴CN=DH，
同理可證CN=G′K，
∴DH=G′K，
在△DHN和△G′KM中，

∠H=∠G′KM=90° ∠DMH=∠G′MK DH=G′K

，
∴△DHN≌△G′KM（AAS），
∴DM=G′M，
∴點(diǎn)M為DG′的中點(diǎn)；

（2）∵△BCN≌△CDH，
∴BN=CH，
同理E′N=CK，
∵△DHN≌△G′KM，
∴MK=MH，
∴CM-CK=CH-CM，
∴CM+CM=CH+CK，
即2CM=BN+E′N=BE′，
∴CM=

1

2

BE′．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并多次證明三角形全等．