Question

6．關(guān)于x的方程|8x-1|+3x+||x+a|-3|-4=0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 題目含有一個(gè)單層絕對(duì)值和一個(gè)雙重絕對(duì)值，首先利用求概率列舉方式進(jìn)行討論，共分8種情況，然后利用絕對(duì)值性質(zhì)去掉絕對(duì)值，求出未知數(shù)x的值，再將x的值代入相應(yīng)取值范圍，可以求a的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)x＜$\frac{1}{8}$，x+a＜0，x+a+3＜0時(shí)，
原式得：1-8x+3x+x+a+3-4=0，
解得：x=$\frac{a}{4}$，
代入①得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}＜\frac{1}{8}}\\{\frac{a}{4}+a＜0}\\{\frac{a}{4}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-$\frac{12}{5}$．

②當(dāng)x＜$\frac{1}{8}$，x+a＜0，x+a+3≥0時(shí)，
原式得：1-8x+3x-x-a-3-4=0，
解得：x=-1-$\frac{a}{6}$，
代入②得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{a}{6}＜\frac{1}{8}}\\{-1-\frac{a}{6}+a＜0}\\{-1-\frac{a}{6}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{27}{4}$＜a$＜-\frac{12}{5}$．

③當(dāng)x＜$\frac{1}{8}$，x+a≥0，x+a+3＜0時(shí)，
原式得：1-8x+3x-x-a+3-4=0，
解得：x=-$\frac{a}{6}$
代入③得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{6}＜\frac{1}{8}}\\{-\frac{a}{6}+a≥0}\\{-\frac{a}{6}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：無(wú)解．

④當(dāng)x＜$\frac{1}{8}$，x+a≥0，x+a+3≥0時(shí)，
原式得：1-8x+3x+x+a-3-4=0，
解得：x=$\frac{a-6}{4}$，
代入④得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-6}{4}＜\frac{1}{8}}\\{\frac{a-6}{4}+a≥0}\\{\frac{a-6}{4}+a+3≥0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{6}{5}$≤a＜$\frac{13}{2}$．

⑤當(dāng)x≥$\frac{1}{8}$，x+a＜0，x+a+3＜0時(shí)，
原式得：8x-1+3x+x+a+3-4=0，
解得：x=$\frac{2-a}{12}$，
代入⑤得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-a}{12}≥\frac{1}{8}}\\{\frac{2-a}{12}+a＜0}\\{\frac{2-a}{12}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-$\frac{38}{11}$．

⑥當(dāng)x≥$\frac{1}{8}$，x+a＜0，x+a+3≥0時(shí)，
原式得：8x-1+3x-x-a-3-4=0，
解得：x=$\frac{a+8}{10}$，
代入⑥得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+8}{10}≥\frac{1}{8}}\\{\frac{a+8}{10}+a＜0}\\{\frac{a+8}{10}+a+3≥0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{38}{11}$≤a＜-$\frac{8}{11}$．

⑦當(dāng)x≥$\frac{1}{8}$，x+a≥0，x+a+3＜0時(shí)，
原式得：8x-1+3x-x-a+3-4=0，
解得：x=$\frac{2+a}{10}$，
代入⑦得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+a}{10}≥\frac{1}{8}}\\{\frac{2+a}{10}+a≥0}\\{\frac{2+a}{10}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：無(wú)解．


⑧當(dāng)x≥$\frac{1}{8}$，x+a≥0，x+a+3≥0時(shí)，
原式得：8x-1+3x+x+a-3-4=0，
解得：x=$\frac{8-a}{12}$
代入⑧得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8-a}{12}≥\frac{1}{8}}\\{\frac{8-a}{12}+a≥0}\\{\frac{8-a}{12}+a+3≥0}\end{array}\right.$
解得：-$\frac{8}{11}$≤a≤$\frac{13}{2}$．
綜上所述：a的取值范圍：a≤$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，題目的難點(diǎn)在于含有雙重絕對(duì)值符號(hào)，對(duì)學(xué)生的思考問(wèn)題又增加了難度．同時(shí)不等式組的運(yùn)算也是本題考查的重點(diǎn)．