Question

在△ABC中，∠BAC=α．
（1）如圖1，∠ABC與∠ACB的角平分線交于O，求∠BOC；
（2）如圖2，∠MBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于Q，求∠BQC．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，根據(jù)平分線的定義得出∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．

解答：解：（1）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
∵BO、CO分別是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（180°-α）=90°-

1

2

α，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°

1

2

α）=90°+

1

2

α；

（2）∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠ABC+∠A
∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A=180°+∠A
∵BE，CQ分別為△ABC的外角∠MBC，∠NCB的角平分線
∴∠CBQ+∠BCQ=

1

2

（180°+∠A）
∴∠BQC=180°-（∠CBQ+∠BCQ）=90°-

1

2

∠A=90°-

1

2

α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．