Question

已知，AC，BD相交于點(diǎn)O，BP，CP分別平分∠ABD，∠ACD交于點(diǎn)P．
（1）若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度數(shù)；
（2）試探索∠P與∠A、∠D間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若∠A：∠D：∠P=2：4：x，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角,角平分線的定義

專題：

分析：（1）運(yùn)用三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角的和，可得∠D+∠DCN=∠P+∠PBN，∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，再根據(jù)角平分線的定義和等式的性質(zhì)可得∠D+∠A=2∠P，從而求出∠P的度數(shù)；
（2）由（1）可求得∠P=

1

2

（∠A+∠D）；
（3）代入（2）的關(guān)系式可求得x的值．

解答：
解：（1）∵∠BNC=∠D+∠DCN，∠BNC=∠P+∠PBN（三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角的和），
∴∠D+∠DCN=∠P+∠EBN（等量代換），
同理：∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，
∴∠D+∠DCN+∠A+∠ABP=2∠P+∠PBN+∠ACP（等式性質(zhì)），
∵BP，CP分別平分∠ABD，∠ACD，
∴∠DCN=∠ACP，∠ABP=∠PBN（角平分線的定義），
∴∠D+∠A=2∠P（等式性質(zhì)），
∵∠A=70°，∠D=60°，
∴∠P=65°；
（2）由（1）可得∠D+∠A=2∠P，即∠P=

1

2

（∠A+∠D）；
（3）由∠A：∠D：∠P=2：4：x，可設(shè)∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk（k≠0），代入∠D+∠A=2∠P可得：6k=2xk，解得x=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是在復(fù)雜圖形中觀察出外角和內(nèi)角之間的關(guān)系，有一定的難度．