【題目】如圖,O為菱形ABCD對角線的交點,M是射線CA上的一個動點(點M與點CO、A都不重合),過點AC分別向直線BM作垂線段,垂足分別為E、F,連接OE,OF

1)①依據(jù)題意補全圖形;

②猜想OEOF的數(shù)量關系為_________________.

2)小東通過觀察、實驗發(fā)現(xiàn)點M在射線CA上運動時,(1)中的猜想始終成立.

小東把這個發(fā)現(xiàn)與同學們進行交流,通過討論,形成了證明(1)中猜想的幾種想法:

想法1:由已知條件和菱形對角線互相平分,可以構造與OAE全等的三角形,從而得到相等的線段,再依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質,即可證明猜想;

想法2:由已知條件和菱形對角線互相垂直,能找到兩組共斜邊的直角三角形,例如其中的一組OABEAB,再依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質,菱形四邊相等,可以構造一對以OEOF為對應邊的全等三角形,即可證明猜想.

……

請你參考上面的想法,幫助小東證明(1)中的猜想(一種方法即可).

3)當∠ADC=120°時,請直接寫出線段CFAE,EF之間的數(shù)量關系是_________________

【答案】1)①見解析;②OE=OF;(2)見解析;(3EF=CF+AE

【解析】

1)①由題意直接補全圖形,②結論是OE=OF,
2)方法1、先判斷出△AOE≌△CON,再利用直角三角形的性質即可得出結論;
方法2、利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,即可得出結論;
3)先判斷出四邊形OPBQ是菱形,再判斷出∠EOF=POQ=120°,再借助直角三角形的性質即可得出結論.

解:(1)①補全的圖形如圖所示.

OE=OF

2)法一:

證明:如圖1,

延長EOFC的延長線于點N

∵四邊形ABCD是菱形,

AO=CO

AEBM,CFBM,

AECF

∴∠AEO=CNO

又∵∠AOE=CON,

∴△AOE≌△CON

OE=ON=

RtEFN中,O是斜邊EN的中點,

OF=

OE=OF

法二:

證明:如圖2

取線段ABBC的中點P,Q,連接OP,PE,OQ,QF

∵四邊形ABCD是菱形,

AB=BCACBD

P,QAB,BC的中點,

OP=PB= ,OQ=QB=

OP=OQ

同理,PE=QF

OP=PBPE=PB,

∴∠OPA=2OBA,∠EPA=2EBA

∴∠OPA+EPA=2OBA+2EBA,即∠OPE=2OBE

同理,∠OQF=2OCF

ACBDCFBM

∴∠OBE+OMB=OCF+OMB=90°

∴∠OBE=OCF

∴∠OPE=OQF

∴△OPE≌△OQF

OE=OF

3)如圖1,

由(2)方法一、得出△AOE≌△CON

AE=CN,OE=ON,

由(2)知,OE=OF,∴OF=ON,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠ABC=ADC=120°,

∴∠ABE+CBF=60°,

∵∠AOB=AEB=90°,

∴點A、E、BO共圓,

∴∠AOE=ABE,

同理:∠COF=CBF,

∴∠NOF=NOC+COF=AOE+CBF=ABE+CBF=60°,

OF=ON

∴△FON是等邊三角形,

∴∠ONF=60°,

∴∠FEN=30°,

RtEFN中,∠FEN=30°,

EF=FN=CF+CN=CF+AE).

故答案為EF=CF+AE

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AE+BFEF;

③當∠C90°時,E,F分別是AC,BC的中點;

④若ODa,CE+CF2b,則SCEFab

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