Question

3．如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)O，⊙O與AC相切于點(diǎn)D，BE⊥AB交AC的延長線于點(diǎn)E，與⊙O相交于G，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求證：AB與⊙O相切；
（2）若AB=4，求線段GF的長．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足是M，證明OM等于圓的半徑OD即可；
（2）過點(diǎn)O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，由垂徑定理得出NG=NF=$\frac{1}{2}$GF，證出四邊形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函數(shù)求得OM和BM的長，則BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，即可得出GF的長．

解答 （1）證明：過點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足是M．如圖1所示：
∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D．
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠DAO=∠NAO，
∴OM=OD．
∴AB與⊙O相切；
（2）解：過點(diǎn)O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF．如圖：2所示：
則NG=NF=$\frac{1}{2}$GF，
∵O是BC的中點(diǎn)，
∴OB=2．
在直角△OBM中，∠MBO=60°，
∴OM=OB•sin60°=$\sqrt{3}$，BM=OB•cos60°=1．
∵BE⊥AB，
∴四邊形OMBN是矩形．
∴ON=BM=1，BN=OM=$\sqrt{3}$．
∵OF=OM=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：NF=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴GF=2NF=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理；熟練掌握切線的判定和等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造矩形是解決本題的關(guān)鍵．