Question

16．如圖，D為△ABC的邊BC的中點，△ABE，△ACF均為正三角形，M，N分別為BE，CF的中點，求∠MDN的度數(shù)．

Answer 1

分析 連接BF、CE，由正三角形的性質(zhì)得出∠BAE=∠CAF=60°，AE=AB，AC=AF，證出∠EAC=∠BAF，由SAS證明△EAC≌△BAF，得出∠AEC=∠ABF，由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得出∠BOG=∠BAE=60°，求出∠1+∠2=∠BOM=60°，由三角形中位線定理得出DM∥CE，DN∥BF，由平行線的性質(zhì)得出∠3=∠2，∠4=∠1，求出∠3+∠4=60°，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．

解答 解：連接BF、CE，如圖所示：
∵△ABE，△ACF均為正三角形，
∴∠BAE=∠CAF=60°，AE=AB，AC=AF，
∴∠EAC=∠BAF，
在△EAC和△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}&{\;}\\{∠EAC=∠BAF}&{\;}\\{AC=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴∠AEC=∠ABF，
∵∠AME=∠BMC，
∴∠BOG=∠BAE=60°，
∴∠1+∠2=∠BOM=60°，
∵M，N分別為BE，CF的中點，D為△ABC的邊BC的中點，
∴DE是△BCE的中位線，DN是△BCF的中位線，
∴DM∥CE，DN∥BF，
∴∠3=∠2，∠4=∠1，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=60°，
∴∠MDN=180°-60°=120°．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．