Question

18．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸分別相交于點A、B，二次函數(shù)的圖象與y軸相交于點C，與直線y=$\frac{1}{2}$x+1相交于點A、D，CD∥x軸，∠CDA=∠OCA．
（1）求點C的坐標；
（2）求這個二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先利用一次函數(shù)解析式計算出A、B兩點坐標，然后再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACO=∠BAO，再利用三角函數(shù)可得CO長，進而可得C點坐標；
（2）首先證明△CBD∽△OBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{BO}{CB}$=$\frac{AO}{CD}$，然后可得D點坐標，再設出二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1中，當y=0時，x=-2，
∴A（-2，0），
∵函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1中，當x=0時，y=1，
∴B（0，1），
∵CD∥x軸，
∴∠BAO=∠ADC，
∵∠CDA=∠OCA，
∴∠ACO=∠BAO，
∴tan∠ACO=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴CO=4，
∴C（0，4）；

（2）∵∠AOB=∠OCD=90°，∠BAO=∠BDC=90°，
∴△CBD∽△OBA，
∴$\frac{BO}{CB}$=$\frac{AO}{CD}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{CD}$，
∴CD=6，
∴D（6，4），
設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
∵圖象經(jīng)過A（-2，0），D（6，4），C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+c}\\{4=c}\\{4=36a+6b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)以及相似三角形和三角函數(shù)的綜合應用，關鍵是掌握一次函數(shù)與坐標軸交點的求法，以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法．