Question

翻轉(zhuǎn)類的計算問題在全國各地的中考試卷中出現(xiàn)的頻率很大，因此初三（5）班聰慧的小菲同學(xué)結(jié)合2011年蘇州市數(shù)學(xué)中考卷的倒數(shù)第二題對這類問題進行了專門的研究．你能和小菲一起解決下列各問題嗎？（以下各問只要求寫出必要的計算過程和簡潔的文字說明即可．）
（1）如圖①，小菲同學(xué)把一個邊長為1的正三角形紙片（即△OAB）放在直線l₁上，OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片向右翻轉(zhuǎn)一周回到初始位置，求頂點O所經(jīng)過的路程；并求頂點O所經(jīng)過的路線；
（2）小菲進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l₂上，OA邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片向右翻轉(zhuǎn)若干次．她提出了如下問題：
問題①：若正方形紙片OABC接上述方法翻轉(zhuǎn)一周回到初始位置，求頂點O經(jīng)過的路程；
問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是

41+20 2

2

π．
（3）①小菲又進行了進一步的拓展研究，若把這個正三角形的一邊OA與這個正方形的一邊OA重合（如圖3），然后讓這個正三角形在正方形上翻轉(zhuǎn)，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相對位置和初始時一樣），求頂點O所經(jīng)過的總路程．
②若把邊長為1的正方形OABC放在邊長為1的正五邊形OABCD上翻轉(zhuǎn)（如圖④），直到正方形第一次回到初始位置，求頂點O所經(jīng)過的總路程．
（4）規(guī)律總結(jié)，邊長相等的兩個正多邊形，其中一個在另一個上翻轉(zhuǎn)，當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的

 

．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)及弧長公式求出點A繞點B、點C旋轉(zhuǎn)的兩段弧長相加即可；
（2）①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)一周的路徑，；利用弧長公式以及扇形面積公式求出即可；
②利用正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑，進而得出

41+20 2

2

π=

20(2+ 2 )

2

π+

π

2

，即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù)；
（3）①首先求出每翻三次翻一周，頂點O所經(jīng)過的總路線長，進而得出三角形共翻四周回到初始位置，所以頂點O所經(jīng)過的總路線長；
②首先求出正方形每翻四次翻一周，頂點O所經(jīng)過的總路線長，再利用共翻5周回到初始位置，即可得出頂點O所經(jīng)過的總路線長；
（4）邊長相等的兩個正多邊形，其中一個在另一個上翻轉(zhuǎn)，當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的最小公倍數(shù)．

解答：解：（1）頂點O所經(jīng)過的總路線長為：

120π×1

180

×2=

4

3

π；
          
（2）①頂點O經(jīng)過的總路線長為：

90π×1

180

×2+

90π× 2

180

=π+

2

2

π=

2+ 2

2

π，
②由①：每翻轉(zhuǎn)一周頂點O經(jīng)過的總路線長為：

2+ 2

2

π，
由

41+20 2

2

π=

20(2+ 2 )

2

π+

π

2

即翻轉(zhuǎn)20周后再翻一次，共翻81次．                      

（3）①每翻三次翻一周，頂點O所經(jīng)過的總路線長為：

210π×1

180

×2=

7

3

π，
共翻四周回到初始位置，所以頂點O所經(jīng)過的總路線長為：

7

3

π×4=

28

3

π，
②每翻四次翻一周，頂點O所經(jīng)過的總路線長為：

162π×1

180

×2+

162π× 2

180

=

81π

45

+

9 2 π

10

，
共翻5周回到初始位置，所以頂點O所經(jīng)過的總路線長為：
5×（

81π

45

+

9 2 π

10

）=

18+9 2

2

π，

（4）當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的最小公倍數(shù)．
故答案為：最小公倍數(shù)．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)以及弧長公式等知識，熟練利用正多邊形的性質(zhì)以及弧長公式是解題關(guān)鍵．