Question

【題目】如圖,△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，AB與CD交于點E，點P是CD延長線上的一點，AP=AC，且∠B=2∠P．

(1)求證:∠B=2∠PCA.

(2)求證:PA是⊙O的切線；

(3)若點B位于直徑CD的下方,且CD平分∠ACB,試判斷此時AE與BE的大小關系,并說明由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）AE=EB，理由詳見解析.

【解析】

(1)根據等腰三角形的性質，得到∠P=∠ACP，根據∠B=2∠P，即可證明.

(2)連接OA、AD，根據圓周角定理得到，則∠ADC=2∠P=2∠ACP，可得∠ADC=60°，∠ACP=30°，求出∠OAP=90°，即可得到OA⊥PA，即可證明PA是⊙O的切線；

(3) CD平分∠ACB,得到 得到=，根據垂徑定理及其推理即可得到結論.

證明：(1)∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP，

∵∠B=2∠P，

∴∠B=2∠ACP，

(2)連接OA、AD，如圖，則∠B=∠ADC，

∴∠ADC=2∠P，

∵CD為直徑，

∴∠DAC=90°，

∴∠ADC=60°，∠C=30°，

∴△ADO為等邊三角形，

∴∠AOP=60°，

而∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切線；

(3)AE=EB.

CD平分∠ACB,

=.

根據垂徑定理的推論可知，AE=EB.