Question

如圖1，四邊形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠BCD．
（1）求證：AB=CB；
（2）若∠ADC=2∠ABC=120°，AC交BD于H，請畫出圖形，給出BH與DH的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，點E、F分別在線段BC，BD上，且點F在線段EC垂直平分線上，連接AF、AE，請給出∠AFB和∠AEB的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AC，易證∠DAC=∠DCA，即可求得∠BAC=∠BCA，即可解題；
（2）連接AC，BD，易證△ABC為等邊三角形，∠DAC=∠DCA=30°，即可求得B、H、D三點共線，可得BH=CH•tan60°，DH=CH•tan30°，即可解題；
（3）連接BD，EF，CF，則AF=FC，易證△ADF≌△CDF，可得∠DAF=∠DCF，即可求得∠BAF=∠BCF，即可求得∠FEC=∠BAF，可得∠BEF+∠BAF=180°，即可解題．

解答：證明：（1）連接AC，

∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）連接AC，BD，

∵∠ADC=2∠ABC=120°，AB=BC，AD=CD，
∴△ABC為等邊三角形，∠DAC=∠DCA=30°，
∴BC=AC，∠BCA=60°，且B、H、D三點共線，
∴BH=CH•tan60°=

3

CH，DH=CH•tan30°=

3

3

CH，
∴BH=3DH；
（3）連接BD，EF，CF，

∵AB=BC，AD=CD，
∴BD是AC垂直平分線，
∴AF=FC，
在△ADF和△CDF中，

AD=CD DF=DF AF=CF

，
∴△ADF≌△CDF（SSS），
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAF=∠BCF，
∵F在線段EC垂直平分線上，
∴EF=CF，
∴∠BCF=∠FEC，
∴∠FEC=∠BAF，
∴∠BEF+∠BAF=180°，
∴A、E、F、B四點共圓，
∴∠AFB=∠AEB．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ADF≌△CDF是解題的關(guān)鍵．