Question

7．已知二次函數(shù)y=k（x+1）（x-$\frac{3}{k}$）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若△ABC為等腰三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）計算自變量為0時的函數(shù)值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先通過解方程k（x+1）（x-$\frac{3}{k}$）=0得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，討論：若k＞0，當(dāng)CA=CB，則OA=OB；當(dāng)AB=AC；當(dāng)BA=BC時；若k＜0時，AB=AC，利用兩點(diǎn)間的距離公式分別得到關(guān)于k的方程，然后解方程求出對應(yīng)的k的值．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=k（x+1）（x-$\frac{3}{k}$）=k•（-$\frac{3}{k}$）=-3，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）；
（2）當(dāng)y=0時，k（x+1）（x-$\frac{3}{k}$）=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{3}{k}$，
設(shè)A（-1，0），B（$\frac{3}{k}$，0），
AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$
若k＞0，
當(dāng)CA=CB，則OA=OB，即$\frac{3}{k}$=1，解得k=3；
當(dāng)AB=AC，解$\frac{3}{k}$+1=$\sqrt{10}$，解得k=$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$；
當(dāng)BA=BC時，即$\frac{3}{k}$+1=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{k}）^{2}}$，解得k=$\frac{3}{4}$；
若k＜0時，AB=AC，即-1-$\frac{3}{k}$=$\sqrt{10}$，解得k=-$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
綜上所述，k的值為3或$\frac{3}{4}$或-$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$或$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了分類討論的思想和等腰三角形的性質(zhì)．