【題目】如圖,在等腰△ABC中,AC=BC=3,AB=6,點(diǎn)E從點(diǎn)B沿著射線BA以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)E作BC的平行線交∠ACB的外角平分線CF于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形BCFE是平行四邊形;
(2)當(dāng)點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)時(shí),連結(jié)AF,試判斷四邊形AECF的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,是否存在t的值,使得以△EFC的其中兩邊為邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,試說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形AECF是矩形,理由見解析;(3)t的值為秒或秒或2秒
【解析】
(1)由等腰三角形的性質(zhì)得:∠B=∠BAC,再由角平分線定義和三角形外角的性質(zhì)可解答;
(2)由有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可解答;
(3)分三種情況:①EF=CF;②CE=CF;②CE=EF;分別列方程可解答.
證明:(1)如圖1,
∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC,
∵CF平分∠ACH,
∴∠ACF=∠FCH,
∵∠ACH=∠B+∠BAC=∠ACF+∠FCH,
∴∠FCH=∠B,
∴BE∥CF,
∵EF∥BC,
∴四邊形BCFE是平行四邊形;
(2)四邊形AECF是矩形,
理由是:
∵E是AB的中點(diǎn),AC=BC,
∴CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
由(1)知:四邊形BCFE是平行四邊形,
∴CF=BE=AE,
∵AE∥CF,AE=CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形,且∠AEC=90°,
∴四邊形AECF是矩形;
(3)①以EF和CF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),如圖2,
∴BE=BC,即3t=3,
∴t=;
②以CE和CF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),如圖3,過C作CD⊥AB于D,連接GC,
∵AC=BC=3,AB=6,
∴BD=AD=3,
由勾股定理得:CD===6,
∵四邊形CEGF是菱形,
∴EF⊥GC,且EF∥BC,
∴GC⊥BC,且∠EGC=∠ECG,
∴∠EBC=∠ECB,
∴BE=CE=3t,
∵(3t)2=62+(3t﹣3)2,
∴t=;
③以CE和EF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),如圖4,CA=AF=BC,此時(shí)E與A重合,
∴t=2,
綜上所述,t的值為秒或秒或2秒;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】人民商場(chǎng)銷售某種商品,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):每件盈利元時(shí),平均每天可銷售件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品每降價(jià)元,商場(chǎng)平均每天可多售出件.
假如現(xiàn)在庫(kù)存量太大,部門經(jīng)理想盡快減少庫(kù)存,又想銷售該商品日盈利達(dá)到元,請(qǐng)你幫忙思考,該降價(jià)多少?
假如部門經(jīng)理想銷售該商品的日盈利達(dá)到最大,請(qǐng)你幫忙思考,又該如何降價(jià)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀:我們約定,在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線,叫該點(diǎn)的“特征線”.例如,點(diǎn)M(1,3)的特征線有:x=1,y=3,y=x+2,y=x+4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC,點(diǎn)B在第一象限,A、C分別在x軸和y軸上,拋物線經(jīng)過B.C兩點(diǎn),頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部.
(1)寫出點(diǎn)M(2,3)任意兩條特征線___________________
(2)若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1,求此拋物線的解析式________________________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為P(1,4),拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求四邊形OBPC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生.為了解某單位使用共享單車的情況,該單位有200名員工,某研究小組隨機(jī)采訪10位員工,得到這10位員工一周內(nèi)使用共享單車的次數(shù)分別為:17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.
(1)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ,眾數(shù)是
(2)試用平均數(shù)估計(jì)該單位員工一周內(nèi)使用共享單車的總次數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年,某貧困戶的家庭年人均純收入為2500元,通過政府產(chǎn)業(yè)扶持,發(fā)展了養(yǎng)殖業(yè)后,到2018年,家庭年人均純收入達(dá)到了3600元.
(1)求該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率;
(2)若年平均增長(zhǎng)率保持不變,2019年該貧困戶的家庭年人均純收入是否能達(dá)到4200元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2014年1月,國(guó)家發(fā)改委出臺(tái)指導(dǎo)意見,要求2015年底前,所有城市原則上全面實(shí)行居民階梯水價(jià)制度. 小軍為了解市政府調(diào)整水價(jià)方案的社會(huì)反響,隨機(jī)訪問了自己居住在小區(qū)的部分居民,就“每月每戶的用水量”和“調(diào)價(jià)對(duì)用水行為改變”兩個(gè)問題進(jìn)行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果整理成下面的圖1,圖2.
小軍發(fā)現(xiàn)每月每戶的用水量在5m3-35m3之間,有7戶居民對(duì)用水價(jià)格調(diào)價(jià)漲幅抱無(wú)所謂,不用考慮用水方式的改變. 根據(jù)小軍繪制的圖表和發(fā)現(xiàn)的信息,完成下列問題:
(1)n =________,小明調(diào)查了_____戶居民,并補(bǔ)全圖1;
(2)每月每戶用水量的中位數(shù)落在______之間,眾數(shù)落在_______之間;
(3)如果小明所在的小區(qū)有1200戶居民,請(qǐng)你估計(jì)“視調(diào)價(jià)漲幅采取相應(yīng)的用水方式改變”的居民戶數(shù)有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y1=a(x+2)2+m過原點(diǎn),與拋物線y2=(x﹣3)2+n交于點(diǎn)A(1,3),過點(diǎn)A作x軸的平行線,分別交兩條拋物線于點(diǎn)B,C.下列結(jié)論:①兩條拋物線的對(duì)稱軸距離為5;②x=0時(shí),y2=5;③當(dāng)x>3時(shí),y1﹣y2>0;④y軸是線段BC的中垂線.正確結(jié)論是________(填寫正確結(jié)論的序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,點(diǎn)E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足為F
(1)求證:DF=AB;
(2)若∠FAD=30°,且AB=4,求AD.
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