Question

【題目】如圖，直線11∥l2，⊙O與11和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B．點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是l1和l2上的動(dòng)點(diǎn)，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．

（1）當(dāng)MN與⊙O相切時(shí)，求AM的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)∠MON為多少度時(shí)，MN與⊙O相切，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）AM的長(zhǎng)為或；（2）當(dāng)∠MON=90°時(shí)，MN與⊙O相切；證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）連結(jié)OM，ON，當(dāng)MN在AB左側(cè)時(shí)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得∠AMO∠AMN=30°．在Rt△AMO中，利用正切的定義可計(jì)算出AM．當(dāng)MN在AB右側(cè)時(shí)，同理可得：AM'；

（2）當(dāng)∠MON=90°時(shí)，MN與⊙O相切，作OE⊥MN于E，延長(zhǎng)NO交l1于F，易證得Rt△OAF≌Rt△OBN，則OF=ON，于是可判斷MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OE=OA，然后根據(jù)切線的判定定理得到MN為⊙O的切線．

（1）當(dāng)MN與⊙O相切，如圖，連結(jié)OM，ON，分兩種情況討論：

①當(dāng)MN在AB左側(cè)時(shí)，∠AMO∠AMN60°=30°．在Rt△AMO中，tan∠AMO，即AM；

②當(dāng)MN在AB右側(cè)時(shí)，∠AM'O∠AM'N（180°－60°）=60°．在Rt△AM'O中，tan∠AM'O，即AM'．

綜上所述：AM的長(zhǎng)為或；

（2）當(dāng)∠MON=90°時(shí)，MN與⊙O相切．證明如下：

作OE⊥MN于E，延長(zhǎng)NO交l1于F，如圖，∵⊙O與11和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，∴∠OAF=∠OBN=90°．

∵直線11∥l2，∴A、O、B共線．

在△OAF和△OBN中，∵，∴△OAF≌△OBN（AAS），∴OF=ON，∴MO垂直平分NF，∴OM平分∠NMF，∴OE=OA，∴MN為⊙O的切線．