【題目】在平面直角坐標系中,點A和點B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上,且OA=6,OB=8,點DAB的中點.

(1)直接寫出點D的坐標及AB的長;

(2)若直角∠NDM繞點D旋轉(zhuǎn),射線DP分別交x軸、y軸于點P、N,射線DMx軸于點M,連接MN

①當點P和點N分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸時,若PDM∽△MON,求點N的坐標;

②在直角∠NDM繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中,∠DMN的大小是否會發(fā)生變化?請說明理由.

【答案】 (1)點D的坐標為(3,4),AB=10;(2)①點N的坐標為(0, );②在直角∠NDM繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中,∠DMN的大小不會發(fā)生變化,理由見解析

【解析】

1)根據(jù)OA6,OB8,點DAB的中點,可得點D的坐標為(3,4),根據(jù)勾股定理可得AB10;

2先過點DDCy軸于C,作DEx軸于E,則得出CD3OE,DE4CO,∠DCN=∠DEM90°,再設(shè)ONx,則CN4x,判定△CDN∽△EDM,得出EM4x),判定△CDN∽△OPN,得出OP,再根據(jù)POMO,得出關(guān)于x的方程4x),求得x的值即可得到點N的坐標;

先根據(jù)△CDN∽△EDM,得到,再根據(jù)OA6OB8,得到,最后根據(jù),∠AOB=∠NDM90°,判定△AOB∽△NDM,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等,可得∠DMN=∠OBA,進而得到∠DMN的大小不會發(fā)生變化.

1)∵OA6,OB8,點DAB的中點,∴點D的坐標為(3,4),AB10

2如圖,過點DDCy軸于C,作DEx軸于E,則

CD3OE,DE4CO,∠DCN=∠DEM90°,設(shè)ONx,則CN4x

∵∠CDE=∠PDM90°,∴∠CDN=∠EDM,∴△CDN∽△EDM,∴,即,∴EM4x).

CDPO,∴△CDN∽△OPN,∴,即,∴OP

∵△PDM∽△MON,∴∠NPO=∠NMO,∴PNMN

NOPM,∴POMO,即4x),解得:x110(舍去),x2,∴ON,∴點N的坐標為(0,);

在直角∠NDM繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中,∠DMN的大小不會發(fā)生變化.理由如下:

可得:△CDN∽△EDM,∴,即

又∵OA6OB8,∴,∴,即

又∵∠AOB=∠NDM90°,∴△AOB∽△NDM,∴∠DMN=∠OBA

∵∠OBA大小不變,∴∠DMN的大小不會發(fā)生變化.

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