【題目】如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,8),點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).

(1)若反比例函數(shù)y= 圖象經(jīng)過P點(diǎn)、Q點(diǎn),求a的值;
(2)若OQ垂直平分AP,求a的值;
(3)當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),是否存在a使△OPQ為直角三角形?若存在,求出a的值,若不存在請(qǐng)說明理由;

【答案】
(1)

解:∵A(10,0),C(0,8),點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),

∴P(t,8),Q(10,at),

∵反比例函數(shù)y= 圖象經(jīng)過P點(diǎn)、Q點(diǎn),

∴8t=10at,解得a=


(2)

解:∵OQ垂直平分AP,

∴OP=OA,PQ=QA,

=10,解得t=6,

∴Q(10,6a),P(6,8),

∵PQ=QA,

∴(10﹣6)2+(6a﹣8)2=(6a)2,解得a=


(3)

解:如圖,

∵Q為AB的中點(diǎn),

∴Q(10,4),P(t,8).

當(dāng)∠OPQ=90°時(shí),OP2+PQ2=OQ2,即t2+82+(10﹣t)2+42=102+42,整理得,t2﹣10t+32=0,

∵△=(﹣10)2﹣4×32=100﹣128=﹣28<0,

∴此方程無解,即此種情況不存在;

當(dāng)∠POQ=90°時(shí),OQP2+PQ2=OP2,即102+42+(10﹣t)2+42=t2+82,整理得,﹣20t=﹣168,解得t= ,

∵AQ=4,

∴at=4,即 a=4,解得a=


【解析】(1)先用t表示出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),再由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出結(jié)論;(2)先根據(jù)OQ垂直平分AP得出OP=OA,求出t的值,再由PQ=QA即可得出a的值;(3)分∠OPQ=90°與∠POQ=90°兩種情況進(jìn)行分類討論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在一張矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC上,將紙片ABCD沿直線EF折疊,點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,有以下四個(gè)結(jié)論:
①四邊形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4;
④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí),EF=2
以上結(jié)論中,你認(rèn)為正確的有 . (填序號(hào))

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(1)直接寫出對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知直線y2=bx﹣4b+3(b≠0)與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D. ①判斷直線y2=bx﹣4b+3(b≠0)是否經(jīng)過點(diǎn)B,并說明理由;
②若△BDC的面積為1,求b的值.

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A.
B.
C.
D.

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A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

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①bc>0;
②2a﹣3c<0;
③2a+b>0;
④ax2+bx+c=0有兩個(gè)解x1 , x2 , 當(dāng)x1>x2時(shí),x1>0,x2<0;
⑤a+b+c>0;
⑥當(dāng)x>1時(shí),y隨x增大而減。

A.2
B.3
C.4
D.5

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