Question

【題目】已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PD⊥AB，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DF．當(dāng)△PAC的面積最大時(shí)，求DF+AF的最小值；

（3）如圖2，將△OBC繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△OB′C′，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，點(diǎn)H為直線OC′上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△GHB′為等腰三角形時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）直線AC的解析式為y＝x+2；（2）最小值；（3）點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣2，﹣）或（，）或（，）或（3，）或（-3，-）．

【解析】

（1）由﹣x2﹣x+2=0，分別求出A（﹣6，0），B（2，0），再令x＝0，求出C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將A,C的坐標(biāo)代入即可.

（2）設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2﹣t+2），則E（t，），D（t，0），得出PE，再利用三角形面積公式計(jì)算出三角形PAC，得到△PAC的面積最大，再利用勾股定理求出AE, 作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D′ ，過點(diǎn)F作FH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，過點(diǎn)D′作D′K⊥x軸，垂足為點(diǎn)K，連接D′F，得到，即可解答.

（3）先根據(jù)題意求出，再判定出AC∥OC′，得到直線OC′的解析式為y＝，設(shè)H（m，），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，當(dāng)△GHB′為等腰三角形時(shí)，

再分三種情況進(jìn)行討論，即可解答.

（1）由﹣x2﹣x+2=0得x1＝﹣6，x2＝2，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣6，0），B（2，0），

令x＝0，則y＝2，

∴C（0，2），

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，

則有，解得：，

∴直線AC的解析式為y＝；

（2）設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2﹣t+2），則E（t，），D（t，0），

∴PE＝﹣t2﹣t+2-()＝﹣t2﹣t，

∴，

∴當(dāng)t＝﹣3時(shí)，△PAC的面積最大，此時(shí)P（﹣3，），E（﹣3，），D（﹣3，0），

∴AD＝﹣3﹣（﹣6）＝3，ED＝，

在Rt△ADE中，AE＝，

∴ED＝，

∴∠EAD＝30°，

如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D′ ，過點(diǎn)F作FH⊥x軸，

垂足為點(diǎn)H，過點(diǎn)D′作D′K⊥x軸，垂足為點(diǎn)K，連接D′F，

在Rt△AFH中，FH＝，

∴ ，

當(dāng)D′，F，H三點(diǎn)共線且與D′K重合時(shí)，D′F+FH取得最小值．

（3）∵A（﹣6，0），C（0，2），點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，

∴ ，∠AOC＝60°，

由題意得∠COC′＝60°，

∴AC∥OC′，

∴直線OC′的解析式為y＝，

設(shè)H（m，），

∵∠BOB′＝60°，B（2，0），

∴ ，

當(dāng)△GHB′為等腰三角形時(shí)，

①若GH＝GB′， ，

整理得：m2+3m﹣12＝0，

解得：m＝，

∴H1；

②若HB′＝GH，，

解得m＝﹣2，

∴ ，

③若HB′＝GB′， ，

整理得m2＝18，

解得m=±3，

∴H4（3，），H5（-3，-），

綜合以上可得點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣2，﹣）或（，）或（，）或（3，）或（-3，-）．