Question

如圖，已知正方形ABCD，AC、BD相交于點(diǎn)O，E為AC上一點(diǎn)，AH⊥EB交EB于點(diǎn)H，AH交BD于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)E在圖1的位置，判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若點(diǎn)E在AC的延長線上，請?jiān)趫D2中按題目要求補(bǔ)全圖形，判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）OE=OF．根據(jù)正方形的性質(zhì)，用AAS判定△AOF≌△BOE，全等三角形的對應(yīng)邊相等，OE=OF．
（2）類比（1）的方法證得同理得出結(jié)論成立．

解答：解：（1）OE=OF．理由如下：
在正方形ABCD中，
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠BEO=90°，
∵AH⊥EB，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠AEH=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中，

∠AOF=∠BOE AO=BO ∠OAF=∠OBE

，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．

（2）OE=OF仍然成立．
理由：如圖，在正方形ABCD中，∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠FAO+∠F=90°，
∵AH⊥EB，∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠E=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中，

∠AOF=∠BOE  ∠E=∠F  AO=BO

，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF．
所以結(jié)論仍然成立．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的理解及運(yùn)用．正確證明三角形全等是關(guān)鍵．