Question

【題目】如圖，在中，，，．點O是的中點，過點O的直線與從重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交于點D，過點Ｃ作交直線于點Ｅ，設直線的旋轉(zhuǎn)角為．

（1）當四邊形是等腰梯形時，則=_______，此時________；

（2）當四邊形是直角梯形時，則=_________，此時_________；

（3）當為幾度時，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），1；（2），；（3），理由詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)，由，可得當時，四邊形EDBC是等腰梯形，即可求得的度數(shù)，然后利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)與等腰三角形三線合一的性質(zhì)求得AD的長；

（2）由，可得當時，四邊形EDBC是直角梯形，即可求得的度數(shù)，然后利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求得AD的長；

（3）根據(jù)，先證明四邊形是平行四邊形，再利用在Rt△ABC中，，，求得AB、AC、AO的長度，在Rt△AOD中，，求得BD的長度，比較得，可證得四邊形是菱形．

（1）∵

∴當時，四邊形EDBC是等腰梯形

∵

∴

即當時，四邊形EDBC是等腰梯形

在Rt△ABC中，

∴

∴

∵O是AC的中點

∴

∵

∴；

（2）∵

∴當時，四邊形EDBC是直角梯形

∵

∴

∴當時，四邊形EDBC是直角梯形

在Rt△ABC中，

∴

∴

∵O是AC的中點

∴

在Rt△AOD中，

∴；

（3）當時，四邊形是菱形

∵

∴

∵

∴四邊形是平行四邊形

在Rt△ABC中，，

∴

∴

∴

在Rt△AOD中，

∴

∴

∴

∵四邊形是平行四邊形

∴四邊形是菱形．